【noip2003】 麦森数

2018-06-17 21:54:34来源:未知 阅读 ()

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题目描述

形如2P-1的素数称为麦森数,这时P一定也是个素数。但反过来不一定,即如果P是个素数,2P-1不一定也是素数。到1998年底,人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377,它有909526位。麦森数有许多重要应用,它与完全数密切相关。

任务:从文件中输入P(1000<P<3100000),计算2P-1的位数和最后500位数字(用十进制高精度数表示)

输入

文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)

输出

第一行:十进制高精度数2P-1的位数。

第2-11行:十进制高精度数2P-1的最后500位数字。(每行输出50位,共输出10行,不足500位时高位补0)

不必验证2P-1与P是否为素数。

样例输入

1279

样例输出

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

题解

首先这道题得从数论的角度入手,平时我们估计一个十进制数x(x>0)的位数,往往潜在地使用了放缩法:

若10^k<=x<10^(k+1),则x有k+1位。而当x=2^p-1时,由于x的末位不为0,因此不存在借位现象,所以x的位数等于2^p的位数。

又假设10^k<=2^p<10^(k+1),此中的k,便等于[log10(2^p)]也就是int(log10(2^p))。

最后简单变换一下,第一问的答案便是int(p*log10(2))+1。

第二问若用高精加法,时间复杂度为O(n)。但常数过大,超时在所难免。

于是想到,要用快速幂高精。

只有一点不同,此处的快速幂是递归形式的。

当由递归得到2^(p/2)的值时,便可以通过2^p=2^(p/2)*2^(p/2)得到2^p的值,若p是奇数,2^p=2^(p/2)*2^(p/2)*2即可。

根据2^p=2^(p/2)*2^(p/2),由高精得到a=b*b; if(n%2==1)

根据2^p=2^(p/2)*2^(p/2)*2,由高精得到a=b*b*2;

处理a数组进位,更新b数组;

清空a数组;

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 long long p,a[10005]={0},b[10005]={0};
 8 void bigpow(long long n){
 9     if(n==0) return;
10     bigpow(n/2);
11     if(n%2==0){
12         for(int i=1;i<=500;i++)
13             for(int j=1;j<=500;j++)
14                 a[i+j-1]=a[i+j-1]+b[i]*b[j];
15     }
16     if(n%2==1){
17         for(int i=1;i<=500;i++)
18             for(int j=1;j<=500;j++)
19                 a[i+j-1]=a[i+j-1]+b[i]*b[j]*2;
20     }
21     for(int i=1;i<=500;i++){
22         b[i]=a[i]%10;
23         a[i+1]=a[i+1]+a[i]/10;
24     }
25     memset(a,0,sizeof(a));
26 }
27 int main(){
28     ios::sync_with_stdio(false);
29     cin>>p;
30     cout<<(int)(p*log10(2)+1)<<endl;
31     b[1]=1;
32     bigpow(p);
33     for(int i=500;i>1;i--){
34         cout<<b[i];
35         if(i%50==1) cout<<endl;
36     }
37     cout<<b[1]-1<<endl;
38     return 0;
39 }

 

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