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概述「DAG加边至强连通」模型&&…

2018-07-09 13:25:11来源：博客园阅读 ()

模型概述

有一DAG，问最少加多少条边能够使图强连通。

题目描述

一些学校连入一个电脑网络。那些学校已订立了协议：每个学校都会给其它的一些学校分发软件（称作“接受学校”）。注意即使 B 在 A 学校的分发列表中， A 也不一定在 B 学校的列表中。

你要写一个程序计算，根据协议，为了让网络中所有的学校都用上新软件，必须接受新软件副本的最少学校数目（子任务 A）。更进一步，我们想要确定通过给任意一个学校发送新软件，这个软件就会分发到网络中的所有学校。为了完成这个任务，我们可能必须扩展接收学校列表，使其加入新成员。计算最少需要增加几个扩展，使得不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校（子任务 B）。一个扩展就是在一个学校的接收学校列表中引入一个新成员。

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第一行包括一个整数 N：网络中的学校数目（2 <= N <= 100）。学校用前 N 个正整数标识。

接下来 N 行中每行都表示一个接收学校列表（分发列表）。第 i+1 行包括学校 i 的接收学校的标识符。每个列表用 0 结束。空列表只用一个 0 表示。

输出格式：

你的程序应该在输出文件中输出两行。

第一行应该包括一个正整数：子任务 A 的解。

第二行应该包括子任务 B 的解。

题目分析

第一问非常简单，就是缩点之后求入度为零的点个数。

至于第二问……一开始我想了很久，后来发现好像想复杂去了。

先加边再删边

我一开始想到的是类似于floyd的想法，来试图删去“多余的边”。

这里对于多余的边的定义是：删去这些边后不会改变图中两两点对的连通性。

那么对于点$x$，将它与所有不能到达的点$y$连边，最后再考虑哪些边是可删去的多余边。

但是这样很冗余，同时计算出的答案是会偏大的……而且我后来发现好像floyd做不到这个操作？

从图的性质考虑

先不来考虑森林（其实森林的情况也一样）比如说这样一张图：

标红的是入度为零的点；标蓝的是出度为零的点。

按照之前的想法，那就是把点1,2,3,4与其他所有它们不能到达的点相连。

但是可以发现对于点5,6来说，是能够到达所有点的；对于点2来说，它只能够到达自身；并且，所有点都能够到达点2。

那么只需要给点2向点5,6连边，就能够使图成为强连通。

更为普遍的情况则是，红点有$x$个；蓝点有$y$个，则最少加边数为$max\{x,y\}$。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 const int maxn = 103;
 3 const int maxm = 20003;
 4 
 5 int tim,dfn[maxn],low[maxn],degOut[maxn],degInn[maxn];
 6 int stk[maxn],cnt;
 7 int col[maxn],cols;
 8 int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn];
 9 int n,ans;
10 
11 int read()
12 {
13     char ch = getchar();
14     int num = 0;
15     bool fl = 0;
16     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
17         if (ch=='-') fl = 1;
18     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
19         num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
20     if (fl) num = -num;
21     return num;
22 }
23 void addedge(int u, int v)
24 {
25     edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot;
26 }
27 void tarjan(int x)
28 {
29     dfn[x] = low[x] = ++tim;
30     stk[++cnt] = x;
31     for (int i=head[x]; i!=-1; i=nxt[i])
32     {
33         int v = edges[i];
34         if (!dfn[v])
35             tarjan(v),
36             low[x] = std::min(low[x], low[v]);
37         else if (!col[v])
38             low[x] = std::min(low[x], dfn[v]);
39     }
40     if (low[x]==dfn[x]){
41         col[x] = ++cols;
42         for (; stk[cnt]!=x; cnt--)
43             col[stk[cnt]] = cols;
44         cnt--;
45     }
46 }
47 int main()
48 {
49     memset(head, -1, sizeof head);
50     n = read();
51     for (int i=1; i<=n; i++)
52     {
53         int x;
54         while (x = read())
55             addedge(i, x);
56     }
57     for (int i=1; i<=n; i++)
58         if (!dfn[i]) tarjan(i);
59     for (int i=1; i<=n; i++)
60         for (int j=head[i]; j!=-1; j=nxt[j])
61             if (col[i]!=col[edges[j]])
62                 degInn[col[i]]++, degOut[col[edges[j]]]++;
63     for (int i=1; i<=cols; i++)
64         if (!degOut[i]) ans++;
65     printf("%d\n",ans);
66     if (cols==1) printf("0\n");
67     else{
68         int cnta = 0, cntb = 0;
69         for (int i=1; i<=cols; i++)
70         {
71             if (degInn[i]==0) cnta++;
72             if (degOut[i]==0) cntb++;
73         }
74         printf("%d\n",std::max(cnta, cntb));
75     }
76     return 0;
77 }