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乘法逆元（欧拉函数,欧拉定理,质数筛法）

2018-06-17 21:37:46来源：未知阅读 ()

如果$ax{\equiv}1(mod\,p)$，且a与p互质（gcd(a,p)=1），则称a关于模p的乘法逆元为x。（不互质则乘法逆元不存在）

有一个问题，在求解过程中有除法，答案很大，要求最终答案对某数p取模。显然，由于除法的出现，每一次运算之后取模是行不通的。（比如：求1*7/2，答案对5取模。如果每一次运算取模也就是7%5/2%5，会得到1，正确结果却是3）如果不想高精度把最终结果算出来再取模的话，有一个方法，就是把除以x转换为乘上x关于模p的乘法逆元。（事实上，乘法逆元应该视为线性同余方程的解也就是一些数而不是一个数，但是一般只需要使用任意一个（比如最小正整数解）就能完成任务）

为什么能这么做：

设c是b关于模m的逆元，即$b*c{\equiv}1(mod\,m)$，那么有$a/b{\equiv}(a/b)*1{\equiv}(a/b)*b*c{\equiv}a*c(mod\,m)$

求法：

1.扩展欧几里得

$ax{\equiv}1(mod\,p)$，那么可以设$ax-1=p(-y)$，那么$ax+py=1=gcd(a,p)$，求解即可

2.欧拉定理（费马小定理）

质数筛法：

列一张表可以发现，每一个非质数x都是被(x/x的最小质因子)这个数筛掉的。

注意：break那里不能是(!i%prime[j])！！！！！如果这样写一定要写成(!(i%prime[j]))！！感叹号优先级高！！

nprime[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
    if(!nprime[i])    prime[++len]=i;
    printf("%d: ",i);
    for(j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
    {
        nprime[i*prime[j]]=1;
        printf("%d ",i*prime[j]);
        if(i%prime[j]==0)    break;
    }
    puts("");
}

2: 4
3: 6 9
4: 8
5: 10 15 25
6: 12
7: 14 21 35 49
8: 16
9: 18 27
10: 20
11: 22 33
12: 24
13: 26 39
14: 28
15: 30 45
16: 32
17: 34
18: 36
19: 38
20: 40
21: 42
22: 44
23: 46
24: 48
25: 50

调试跟踪一下就可以明白这个break的原理。

例如当i=12时，第一次筛掉24。显然，24的最小质因子是2，24/2=12。之后发现12是2的倍数，说明12乘一个2以上的质数，得到的合数的最小质因子都是2，就不应当由12来筛掉。

欧拉函数：$φ(n)$表示小于等于n且与n互质的整数个数。定义$φ(1)=1$。

显然，设$n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak$（就是把n分解质因数），那么小于n且不与n互质的整数，一定是集合$\{p1,p2,..,pk\}$中一些数的积。

也就是说，$φ(n)$就是

欧拉函数定义&基础求法&筛法：http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html

欧拉函数exthttps://zhuanlan.zhihu.com/p/24902174

筛法补充说明：对于每一个质数p，欧拉函数值显然等于p-1。对于每一个合数a，用筛掉它的数b的函数值来计算它的函数值。

几个性质的补充说明：

这个证明没有仔细看是不是对的

（以下内容仅留作记录）

欧拉函数，用φ(n)表示

欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目

辣么，怎么求哩？~(～o￣▽￣)～o

可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉

比如φ(12)

把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数

然后把2的倍数和3的倍数都删掉

2的倍数：2,4,6,8,10,12

3的倍数：3,6,9,12

本来想直接用12 - 12/2 - 12/3

但是6和12重复减了

所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (＞﹏＜)

所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)

这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧

比如φ(30)，30 = 2*3*5

所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5)

但是容斥写起来好麻烦(￣.￣)

有一种简单的方法

φ(12) = 12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6)

φ(30) = 30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5) = 30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30)

你看( •?∀•? )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好

所以φ(30)的计算方法就是先找30的质因数

分别是2,3,5

然后用30* 1/2 * 2/3 * 4/5就搞定了

顺便一提，phi(1) = 1

代码如下：

 1 //欧拉函数
 2 int phi(int x){
 3     int ans = x;
 4     for(int i = 2; i*i <= x; i++){
 5         if(x % i == 0){
 6             ans = ans / i * (i-1);
 7             while(x % i == 0) x /= i;
 8         }
 9     }
10     if(x > 1) ans = ans / x * (x-1);
11     return ans;
12 }

（phi就是φ的读音）

机智的代码，机智的我(??`ω´?)

这个的复杂度是O（√n），如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是O（n√n），这也太慢了

有更快的方法

跟埃筛素数差不多

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 100000 + 5;
 3 int phi[N];
 4 void Euler(){
 5     phi[1] = 1;
 6     for(int i = 2; i < N; i ++){
 7         if(!phi[i]){
 8             for(int j = i; j < N; j += i){
 9                 if(!phi[j]) phi[j] = j;
10                 phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
11             }
12         }
13     }
14 }
15 int main(){
16     Euler();
17 }

（Euler就是欧拉）

另一种，比上面更快的方法

需要用到如下性质

p为质数

1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p （我不会证明）

3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) （我不会证明）

（所以我说我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1e6+10 ;
 4 int phi[N], prime[N];
 5 int tot;//tot计数，表示prime[N]中有多少质数 
 6 void Euler(){
 7     phi[1] = 1;
 8     for(int i = 2; i < N; i ++){
 9         if(!phi[i]){
10             phi[i] = i-1;
11             prime[tot ++] = i;
12         }
13         for(int j = 0; j < tot && 1ll*i*prime[j] < N; j ++){
14             if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
15             else{
16                 phi[i * prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
17                 break;
18             }
19         }
20     }
21 }
22  
23 int main(){
24     Euler();
25 }

最后说下

a^b % p 不等价 (a%p)^(b%p) % p

因为

a^φ(p) ≡ 1 (mod p)

所以

a^b % p = (a%p)^(b%φ(p)) % p

（欧拉函数前提是a和p互质）

如果p是质数

直接用这个公式

机智的代码，机智的我(??`ω´?)

///////////////////////////////////////////////

2016年7月23号

我的天哪，我又发现了一个新公式，貌似可以摆脱a和p互质的束缚，让我们来命名为：超欧拉取模进化公式

这是历史性的一刻，妈妈再也不用为a和p不互质而担心了= =

#include<cstdio>
int phi[100100],prime[30000];//nprime[100100];
int n,len;
int main()
{
    int i,j;
    n=50;
    phi[1]=1;
    //nprime[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        //if(!nprime[i])
        if(!phi[i])
        {
            prime[++len]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        //printf("%d: ",i);
        for(j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            //nprime[i*prime[j]]=1;
            //printf("%d ",i*prime[j]);
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
        //puts("");
    }
    return 0;
}

显然以上方法是线性的。

还有一个不需要这个性质的方法，复杂度$O(nloglogn)$。就是根据定义，对于每个质数x（未被其他数更新过欧拉函数值），去更新所有其倍数的欧拉函数值（就是乘上(x-1)再除以x）。

for(i=2;i<=n;i++)
    if(!phi[i])
        for(j=i;j<=n;j+=i)
        {
            if(!phi[j])    phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            //i和i-1必定互质，因此保证正确，这样避免乘法溢出
        }

欧拉函数的一些性质&欧拉定理：http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4755455.html

欧拉定理做法就是当a,p互质时，$a^{φ(p)}{\equiv}1(mod\,p)$，那么$a^{φ(p)-1}$就是a关于模p的乘法逆元。可以用快速幂算。

奇怪的东西：http://blog.csdn.net/qq_36808030/article/details/76687103

当p为质数时即为费马小定理。此时$φ(p)=p-1$，$a^{φ(p)}{\equiv}a^{p-1}{\equiv}1(mod\,p)$，那么$a^{p-2}$就是a关于模p的乘法逆元

3.线性递推1-n关于模M的乘法逆元

inv[i]表示i的乘法逆元。

设$t=M/i$,$k=M%i$

可得$M=i*t+k$

那么$-i*t{\equiv}k(mod\,M)$

由于$inv[i]*inv[k]{\equiv}inv[i]*inv[k](mod\,M)$

逐项相乘得$-i*inv[i]*t*inv[k]{\equiv}inv[i]*k*inv[k](mod\,M)$

（不知道为什么同余式找不到两边同时乘相同数仍然成立的性质...）

可得$-t*inv[k]{\equiv}inv[i](mod\,M)$

即$-(M/i)*inv[M\%i]{\equiv}inv[i]$

那么，$inv[i]$可以等于$-(M/i)*inv[M\%i]$。

如果$-(M/i)*inv[M\%i]$为负，则不方便计算。

改成$(M-M/i)*inv[M\%i]\%m$就能保证是最小的可能的正整数。

(http://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5493401.html)

这儿还有个证明（未仔细看）：http://blog.csdn.net/yukizzz/article/details/51105009

还有个：http://blog.miskcoo.com/2014/09/linear-find-all-invert

另：

有一个在求解一切除法取模问题（不用互质）时都可以采用的方法：

在求解除法取模问题$(a/b)\%m$时，我们可以转化为$(a \% (b * m))/b$。

来道模板

洛谷P3811

  1 //O2卡过
  2 #pragma GCC optimize(2)
  3 #pragma GCC diagnostic error "-std=gnu++14"
  4 #include<cstdio>
  5 #include<cmath>
  6 #include<algorithm>
  7 using namespace std;
  8 namespace fastIO{
  9     #define BUF_SIZE 100005
 10     #define OUT_SIZE 100005
 11     #define ll long long
 12     //fread->read
 13     bool IOerror=0;
 14     inline char nc(){
 15         static char buf[BUF_SIZE],*p1=buf+BUF_SIZE,*pend=buf+BUF_SIZE;
 16         if (p1==pend){
 17             p1=buf; pend=buf+fread(buf,1,BUF_SIZE,stdin);
 18             if (pend==p1){IOerror=1;return -1;}
 19             //{printf("IO error!\n");system("pause");for (;;);exit(0);}
 20         }
 21         return *p1++;
 22     }
 23     inline bool blank(char ch){return ch==' '||ch=='\n'||ch=='\r'||ch=='\t';}
 24     inline void read(int &x){
 25         bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
 26         for (;blank(ch);ch=nc());
 27         if (IOerror)return;
 28         if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
 29         for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
 30         if (sign)x=-x;
 31     }
 32     inline void read(ll &x){
 33         bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
 34         for (;blank(ch);ch=nc());
 35         if (IOerror)return;
 36         if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
 37         for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
 38         if (sign)x=-x;
 39     }
 40     inline void read(double &x){
 41         bool sign=0; char ch=nc(); x=0;
 42         for (;blank(ch);ch=nc());
 43         if (IOerror)return;
 44         if (ch=='-')sign=1,ch=nc();
 45         for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())x=x*10+ch-'0';
 46         if (ch=='.'){
 47             double tmp=1; ch=nc();
 48             for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=nc())tmp/=10.0,x+=tmp*(ch-'0');
 49         }
 50         if (sign)x=-x;
 51     }
 52     inline void read(char *s){
 53         char ch=nc();
 54         for (;blank(ch);ch=nc());
 55         if (IOerror)return;
 56         for (;!blank(ch)&&!IOerror;ch=nc())*s++=ch;
 57         *s=0;
 58     }
 59     inline void read(char &c){
 60         for (c=nc();blank(c);c=nc());
 61         if (IOerror){c=-1;return;}
 62     }
 63     //getchar->read
 64     inline void read1(int &x){
 65         char ch;int bo=0;x=0;
 66         for (ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if (ch=='-')bo=1;
 67         for (;ch>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
 68         if (bo)x=-x;
 69     }
 70     inline void read1(ll &x){
 71         char ch;int bo=0;x=0;
 72         for (ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if (ch=='-')bo=1;
 73         for (;ch>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
 74         if (bo)x=-x;
 75     }
 76     inline void read1(double &x){
 77         char ch;int bo=0;x=0;
 78         for (ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if (ch=='-')bo=1;
 79         for (;ch>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
 80         if (ch=='.'){
 81             double tmp=1;
 82             for (ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';tmp/=10.0,x+=tmp*(ch-'0'),ch=getchar());
 83         }
 84         if (bo)x=-x;
 85     }
 86     inline void read1(char *s){
 87         char ch=getchar();
 88         for (;blank(ch);ch=getchar());
 89         for (;!blank(ch);ch=getchar())*s++=ch;
 90         *s=0;
 91     }
 92     inline void read1(char &c){for (c=getchar();blank(c);c=getchar());}
 93     //scanf->read
 94     inline void read2(int &x){scanf("%d",&x);}
 95     inline void read2(ll &x){
 96         //#ifdef _WIN32
 97         //    scanf("%I64d",&x);
 98         //#else
 99         //#ifdef __linux
100             scanf("%lld",&x);
101         //#else
102         //    puts("error:can??t recognize the system!");
103         //#endif
104         //#endif
105     }
106     inline void read2(double &x){scanf("%lf",&x);}
107     inline void read2(char *s){scanf("%s",s);}
108     inline void read2(char &c){scanf(" %c",&c);}
109     inline void readln2(char *s){gets(s);}
110     //fwrite->write
111     struct Ostream_fwrite{
112         char *buf,*p1,*pend;
113         Ostream_fwrite(){buf=new char[BUF_SIZE];p1=buf;pend=buf+BUF_SIZE;}
114         void out(char ch){
115             if (p1==pend){
116                 fwrite(buf,1,BUF_SIZE,stdout);p1=buf;
117             }
118             *p1++=ch;
119         }
120         void print(int x){
121             static char s[15],*s1;s1=s;
122             if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
123             while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
124             while(s1--!=s)out(*s1);
125         }
126         void println(int x){
127             static char s[15],*s1;s1=s;
128             if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
129             while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
130             while(s1--!=s)out(*s1); out('\n');
131         }
132         void print(ll x){
133             static char s[25],*s1;s1=s;
134             if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
135             while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
136             while(s1--!=s)out(*s1);
137         }
138         void println(ll x){
139             static char s[25],*s1;s1=s;
140             if (!x)*s1++='0';if (x<0)out('-'),x=-x;
141             while(x)*s1++=x%10+'0',x/=10;
142             while(s1--!=s)out(*s1); out('\n');
143         }
144         void print(double x,unsigned int y){
145             static ll mul[]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,
146                 1000000000,10000000000LL,100000000000LL,1000000000000LL,10000000000000LL,
147                 100000000000000LL,1000000000000000LL,10000000000000000LL,100000000000000000LL};
148             if (x<-1e-12)out('-'),x=-x;x*=mul[y];
149             ll x1=(ll)floor(x); if (x-floor(x)>=0.5)++x1;
150             ll x2=x1/mul[y],x3=x1-x2*mul[y]; print(x2);
151             if (y>0){out('.'); for (size_t i=1;i<y&&x3*mul[i]<mul[y];out('0'),++i); print(x3);}
152         }
153         void println(double x,int y){print(x,y);out('\n');}
154         void print(char *s){while (*s)out(*s++);}
155         void println(char *s){while (*s)out(*s++);out('\n');}
156         void flush(){if (p1!=buf){fwrite(buf,1,p1-buf,stdout);p1=buf;}}
157         ~Ostream_fwrite(){flush();}
158     }Ostream;
159     inline void print(int x){Ostream.print(x);}
160     inline void println(int x){Ostream.println(x);}
161     inline void print(char x){Ostream.out(x);}
162     inline void println(char x){Ostream.out(x);Ostream.out('\n');}
163     inline void print(ll x){Ostream.print(x);}
164     inline void println(ll x){Ostream.println(x);}
165     inline void print(double x,int y){Ostream.print(x,y);}
166     inline void println(double x,int y){Ostream.println(x,y);}
167     inline void print(char *s){Ostream.print(s);}
168     inline void println(char *s){Ostream.println(s);}
169     inline void println(){Ostream.out('\n');}
170     inline void flush(){Ostream.flush();}
171     //puts->write
172     char Out[OUT_SIZE],*o=Out;
173     inline void print1(int x){
174         static char buf[15];
175         char *p1=buf;if (!x)*p1++='0';if (x<0)*o++='-',x=-x;
176         while(x)*p1++=x%10+'0',x/=10;
177         while(p1--!=buf)*o++=*p1;
178     }
179     inline void println1(int x){print1(x);*o++='\n';}
180     inline void print1(ll x){
181         static char buf[25];
182         char *p1=buf;if (!x)*p1++='0';if (x<0)*o++='-',x=-x;
183         while(x)*p1++=x%10+'0',x/=10;
184         while(p1--!=buf)*o++=*p1;
185     }
186     inline void println1(ll x){print1(x);*o++='\n';}
187     inline void print1(char c){*o++=c;}
188     inline void println1(char c){*o++=c;*o++='\n';}
189     inline void print1(char *s){while (*s)*o++=*s++;}
190     inline void println1(char *s){print1(s);*o++='\n';}
191     inline void println1(){*o++='\n';}
192     inline void flush1(){if (o!=Out){if (*(o-1)=='\n')*--o=0;puts(Out);}}
193     struct puts_write{
194         ~puts_write(){flush1();}
195     }_puts;
196     inline void print2(int x){printf("%d",x);}
197     inline void println2(int x){printf("%d\n",x);}
198     inline void print2(char x){printf("%c",x);}
199     inline void println2(char x){printf("%c\n",x);}
200     inline void print2(ll x){
201         //#ifdef _WIN32
202         //    printf("%I64d",x);
203         //#else
204         //#ifdef __linux
205             printf("%lld",x);
206         //#else
207         //    puts("error:can't recognize the system!");
208         //#endif
209         //#endif
210     }
211     inline void println2(ll x){print2(x);printf("\n");}
212     inline void println2(){printf("\n");}
213     #undef ll
214     #undef OUT_SIZE
215     #undef BUF_SIZE
216 };
217 using namespace fastIO;
218 typedef long long LL;
219 LL x,y;
220 LL a,b,n;
221 LL exgcd(LL a,LL b)
222 {
223     if(b==0)
224     {
225         x=1;y=0;
226         return a;
227     }
228     else
229     {
230         LL t1=exgcd(b,a%b),t=x;
231         x=y;
232         y=t-a/b*y;
233         return t1;
234     }
235 }
236 int main()
237 {
238     read(n);read(b);
239     for(a=1;a<=n;a++)
240     if(exgcd(a,b)==1)
241     {
242         LL t1=floor(-(double)x/b)+1;
243         println(t1*b+x);
244     }
245     return 0;
246 }

 1 //O2也救不了我
 2 #pragma GCC optimize(2)
 3 #include<cstdio>
 4 typedef long long LL;
 5 LL n,p;
 6 LL poww(LL a,LL b)
 7 {
 8     LL base=a,ans=1;
 9     while(b)
10     {
11         if(b&1)    ans=(ans*base)%p;
12         b>>=1;
13         base=(base*base)%p;
14     }
15     return ans;
16 }
17 int main()
18 {
19     LL i;
20     scanf("%lld%lld",&n,&p);
21     for(i=1;i<=n;i++)
22         printf("%lld\n",poww(i,p-2));
23     return 0;
24 }

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 LL inv[3001000],n,p;
 4 int main()
 5 {
 6     LL i;
 7     scanf("%lld%lld",&n,&p);
 8     inv[1]=1;
 9     printf("%lld\n",inv[1]);
10     for(i=2;i<=n;i++)
11     {
12         inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
13         printf("%lld\n",inv[i]);
14     }
15     return 0;
16 }