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素数的筛法

2018-06-17 21:36:52来源：未知阅读 ()

素数的筛法有很多种

在此给出常见的三种方法

以下给出的所有代码均已通过这里的测试

埃拉托斯特尼筛法

名字好长 :joy: 不过代码很短

思路非常简单，对于每一个素数，枚举它的倍数，它的倍数一定不是素数

这样一定可以保证每个素数都会被筛出来

还有，我们第一层循环枚举到$\sqrt(n)$就好，因为如果当前枚举的数大于n，那么它能筛出来的数一定在之前就被枚举过

比如说：

$\sqrt(100)=10$

不难发现我们从$20$枚举所筛去的数一定被$5$筛过

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN];
12 int n,m;
13 int main()
14 {
15     n=read();m=read();
16     vis[1]=1;//1不是质数
17     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
18         for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
19             vis[j]=1;
20     while(m--)
21     {
22         int p=read();
23         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
24         else             printf("Yes\n");
25     }
26     return 0;
27 }

但是你会发现这份代码只能得30分

看来这种算法还是不够优秀

下面我们来探索一下他的优化

另外，这种算法的时间复杂度：$O(n*logn)$

埃拉托斯特尼筛法优化版

根据唯一分解定理

每一个数都可以被分解成素数乘积的形式

那我们枚举的时候，只有在当前数是素数的情况下，才继续枚举就好

这样可以保证每个素数都会被筛出来

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN];
12 int n,m;
13 int main()
14 {
15     n=read();m=read();
16     vis[1]=1;//1不是质数
17     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
18         if(vis[i]==0)
19             for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
20                 vis[j]=1;
21     while(m--)
22     {
23         int p=read();
24         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
25         else             printf("Yes\n");
26     }
27     return 0;
28 }

果然，加了优化之后这种算法快了不少

可以证明，它的复杂度为：$O(n*log^{logn})$

这种算法已经非常优秀了，但是对于1e7这种极端数据，还是有被卡的风险

那么，还有没有更快的筛法呢？

答案是肯定的！

欧拉筛

我们思考一下第二种筛法的运算过程

不难发现，对于6这个数，它被2筛了一次，又被3筛了一次

第二次筛显然是多余的，

我们考虑去掉这步运算

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN],prime[MAXN];
12 int tot=0;
13 int n,m;
14 int Euler()
15 {
16     vis[1]=1;
17     for(int i=2;i<=n;i++)
18     {
19         if(vis[i]==0)    prime[++tot]=i;
20         for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
21         {
22             vis[i*prime[j]]=1;
23             if(i%prime[j]==0)    break;
24         }
25     }
26 }
27 int main()
28 {
29     n=read();m=read();
30     Euler();
31     for(int i=1;i<=m;i++)
32     {
33         int p=read();
34         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
35         else             printf("Yes\n");
36     }
37     return 0;
38 }