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树上倍增求LCA及例题

2018-06-17 21:36:18来源：未知阅读 ()

先瞎扯几句

树上倍增的经典应用是求两个节点的LCA

当然它的作用不仅限于求LCA，还可以维护节点的很多信息

求LCA的方法除了倍增之外，还有树链剖分、离线tarjan ，这两种日后再讲（众人：其实是你不会吧:unamused:。。。）

思想

树上倍增嘛，顾名思义就是倍增

相信倍增大家都不默认，著名的rmq问题的$O(n*logn)$的解法就是利用倍增实现的

在树上倍增中，我们用

$f[j][i]$表示第$j$号节点，跳了$2^j$步所能到达的节点

$deep[i]$表示$i$号节点的深度

然后用这两个数组瞎搞搞就能整出LCA来啦

众人：:wrench: :hammer: :hocho:

实现

deep&&f[i][0]

首先，$f[i][0]$(也就是一个节点的上面的节点)容易求得，只要对整棵树进行一边dfs就好，在dfs的时候我们顺便可以求出$deep$数组

for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(!deep[edge[i].v])
            deep[edge[i].v]=deep[now]+1,f[edge[i].v][0]=now,dfs(edge[i].v);

这段代码应该不难理解

f[j][i]

那么我们怎么维护$f$数组呢？

不难得到$f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1]$ 众人：难！

其实真的不难，一张图就可以解释明白啦

这句话的意思其实是说，一个节点跳$2^j$所能到达的节点实际上是跳$2^{i-1}$所能到达的节点再往上跳$2^{j-1}$步

注意$2^i=2^{i-1}+2^{i-1}$

代码：

for(int i=1;i<=19;i++)	
    for(int j=1;j<=n;j++)
        f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];

LCA

接下来要进入最核心的部分啦，

我们如何用$deep$和$f$乱搞搞出$x$和$y$的LCA呢？

按照书上倍增算法的介绍

我们求LCA需要分为两步

设$deep[x]>deep[y]$

让$x$向上跳，跳到与$y$深度相同位置
让$x$和$y$同时向上跳，跳到祖先相同位置

根据二进制分解什么乱七八糟的，这么做一定是对的，其实这个挺显然的，yy一下就好了吧。。。

第一步

if(deep[x]<deep[y])	swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--)
  	  if(deep[f[x][i]]>=deep[y])
     	   x=f[x][i];

首先处理一下$x$和$y$的深度，保证$deep[x]>deep[y]$

然后尽量让$x$向上跳就好啦，注意这里是可以取到等号的

注意这里可能会出现一种特殊情况

这个时候他们的最近公共祖先就是$y$

if(x==y)	return x;

第二步

同时向上跳，直到祖先相同为止

那么此时他们再向上跳一步所能到达的节点就是LCA啦

for(int i=19;i>=0;i--)
    if(f[x][i]!=f[y][i])
        x=f[x][i],y=f[y][i];
return	f[x][0];

怎么样？

是不是很简单？

完整代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1000010;
inline void read(int &n)
{
    char c=getchar();bool flag=0;n=0;
    while(c<'0'||c>'9')	c=='-'?flag=1,c=getchar():c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')	n=n*10+c-48,c=getchar();flag==1?n=-n:n=n;
}
struct node
{
    int v,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN];
int num=1;
inline void add_edge(int x,int y)
{
    edge[num].v=y;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
int f[MAXN][21];
int deep[MAXN];
int n,m,root;
void dfs(int now)
{
    for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(!deep[edge[i].v])
            deep[edge[i].v]=deep[now]+1,f[edge[i].v][0]=now,dfs(edge[i].v);
}
void PRE()
{
    for(int i=1;i<=19;i++)	
        for(int j=1;j<=n;j++)
            f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
} 
int LCA(int x,int y)
{
    if(deep[x]<deep[y])	swap(x,y);
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(deep[f[x][i]]>=deep[y])
            x=f[x][i];
    if(x==y)	return x;
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
            x=f[x][i],y=f[y][i];
    return	f[x][0];
}
int main()
{
    
    memset(head,-1,sizeof(head));
    read(n);read(m);read(root);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int x,y;read(x);read(y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
    }
    deep[root]=1;
    dfs(root);
    PRE();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        read(x);read(y);
        printf("%d\n",LCA(x,y));
    }
    return 0;
}