浅谈LCA
2019-12-25 16:03:47来源:博客园 阅读 ()
浅谈LCA
最近公共祖先LCA
如图
LCA(4,5)=8
LCA(10,16)=10
LCA(7,3)=4
求LCA主要算法有:RMQ,tarjan,倍增
RMQ
这种方法就是打表
O(n logn)预处理,O(1)回答
RMQ就是区间最值查询。
首先通过dfs求出每个点的深度
显然,两个节点的LCA不仅是两个节点的最近公共祖先,而且包括这两个节点的最小子树的根,即包括这两个节点的最小子树中的深度最小的节点。
现在,我们改一下dfs,变成欧拉序。
欧拉序,就是每次从x的父亲进入节点x或者从子节点回溯到x都要把x这个编号扔到一个数组的最后。
如图
欧拉序为:8 5 9 5 8 4 6 15 6 7 6 4 10 11 10 16 3 16 12 16 10 2 10 4 8 1 14 1 13 1 8
再注意到,一对点的 LCA 不仅是包括这两个节点的最小子树中的深度最小的节点,还是连接这对点的简单路径上深度最小的点。
而且从离开x到进入y的这段欧拉序必然包括所有这对点之间的简单路径上的所有点,所以我们考虑求得这段欧拉序中所包含的节点中的深度最小的点,即他们的LCA。
从x到y的这段欧拉序会包含这棵子树中的其他节点,但是不会影响这个最浅点的求得。
显然,x到y这段欧拉序是个连续区间。
现在我们考虑通过预处理来O(1)获得这个最浅点。
这里有一个叫做ST表的东西。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct edge{ int to,next; }ed[100005]; int n,q,u,v,cnt,head[50005],ind,dfn[50005],dep[50005],lg[50005],f[50005][21]; void add(int u,int v){ cnt++; ed[cnt].to=v; ed[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; } void dfs(int u,int fa){ dfn[u]=++ind; dep[u]=dep[fa]+1; f[ind][0]=u; for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){ int v=ed[i].to; if(v!=fa)dfs(v,u),f[++ind][0]=u; } } void st(){ for(int j=1;j<=20;j++){ for(int i=1;i+(1<<j)<=ind+1;i++){ int k=i+(1<<(j-1)); if(dep[f[i][j-1]]<dep[f[k][j-1]])f[i][j]=f[i][j-1]; else f[i][j]=f[k][j-1]; } } } int rmq(int l,int r){ if(l>r)swap(l,r); int k=lg[r-l+1]; if(dep[f[l][k]]<dep[f[r-(1<<k)+1][k]])return f[l][k]; else return f[r-(1<<k)+1][k]; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); lg[0]=-1; for(int i=1;i<=n;i++)lg[i]=lg[i/2]+1; for(int i=1;i<n;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v),add(v,u); } dfs(1,0); st(); for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); printf("%d\n",rmq(dfn[u],dfn[v])); } }
Tarjan
一种离线算法,要用到并查集。
时间复杂度为O(n+q)。
Tarjan算法基于dfs,在dfs的过程中,对于每个节点位置的询问做出相应的回答。
dfs的过程中,当一棵子树被搜索完成之后,就把他和他的父亲合并成同一集合;在搜索当前子树节点的询问时,如果该询问的另一个节点已经被访问过,那么该编号的询问是被标记了的,于是直接输出当前状态下,另一个节点所在的并查集的祖先;如果另一个节点还没有被访问过,那么就做下标记,继续dfs。
如图
比如:8−1−14−13,此时已经完成了对子树1的子树14的dfs与合并,如果存在询问(13,14),则其LCA即find(14),即1;如果还存在由节点13与已经完成搜索的子树中的节点的询问,那么处理完。然后合并子树13的集合与其父亲1当前的集合,回溯到子树1,并深搜完所有1的其他未被搜索过的儿子,并完成子树1中所有节点的合并,再往上回溯,对节点1进行类似的操作即可。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct edge{ int to,next; }ed[50005]; struct qedge{ int to,next,lca; }qed[50005]; int n,q,u,v,cnt,qcnt,head[50005],qhead[50005],fa[50005]; void add(int u,int v){ cnt++; ed[cnt].to=v; ed[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; } void qadd(int u,int v){ qcnt++; qed[qcnt].to=v; qed[qcnt].next=qhead[u]; qhead[u]=qcnt; } int find(int x){ return fa[x]==x?x:find(fa[x]); } void dfs(int u,int pa){ fa[u]=u; for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){ int v=ed[i].to; if(v!=pa){ dfs(v,u); fa[v]=u; } } for(int i=qhead[u];i;i=qed[i].next){ int v=qed[i].to; if(v!=pa&&!qed[i].lca){ qed[i].lca=find(v); if(i%2)qed[i+1].lca=qed[i].lca; else qed[i-1].lca=qed[i].lca; } } } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<n;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v),add(v,u); } for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); qadd(u,v),qadd(v,u); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",qed[2*i].lca); }
倍增
时间复杂度O((n+q)logn)
对于这个算法,我们从最暴力的算法开始:
①如果x和y深度不同,先把深度调浅,使他变得和深度小的那个一样
②现在已经保证了x和y的深度一样,所以我们只要把两个一起一步一步往上移动,直到他们到达同一个节点,也就是他们的最近公共祖先了。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct edge{ int to,next; }ed[100005]; int n,q,u,v,cnt,head[50005],dep[10005],fa[10005]; void add(int u,int v){ cnt++; ed[cnt].to=v; ed[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; } void dfs(int u,int pa){ dep[u]=dep[pa]+1,fa[u]=pa; for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){ int v=ed[i].to; if(v!=pa)dfs(v,u); } } int lca(int u,int v){ if(u==v)return u; if(dep[u]==dep[v])return lca(fa[u],fa[v]); if(dep[u]>dep[v])return lca(fa[u],v); if(dep[u]<dep[v])return lca(u,fa[v]); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<n;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v),add(v,u); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); printf("%d\n",lca(u,v)); } }
但这样一步一步往上移动太慢,我们可以做一个预处理:
设fi,j表示从结点i开始向上走2j步到达的点,所以fi,0=fa(i),fi,1=ff[0][0],0,$fi,j=ff[i][j-1],i-j$
如图
f5,0=5
f7,1=4
f3,2=ff[3][2-1],2-1=f10,1=8
于是我们可以得出以下做法:
1.把x和y移到同一深度(设depx为节点x的深度),假设depx<depy,从大到小枚举k,如果depf[y][k]≠depx,那么y就往上跳。
2.如果x=y,那么显然LCA就是fx,0。否则执行第3步。
3.在xx≠yy的情况下找到深度最小的xx和yy。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct edge{ int to,next; }ed[100005]; int n,q,u,v,cnt,head[50005],dep[50005],f[50005][20]; void add(int u,int v){ cnt++; ed[cnt].to=v; ed[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; } void dfs(int u,int fa){ f[u][0]=fa; dep[u]=dep[fa]+1; for(int i=1;i<20;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){ int v=ed[i].to; if(v!=fa)dfs(v,u); } } int lca(int u,int v){ if(dep[u]<dep[v])swap(u,v); for(int i=19;i>=0;i--)if(dep[u]-(1<<i)>=dep[v])u=f[u][i]; if(u==v)return u; for(int i=19;i>=0;i--)if(f[u][i]!=f[v][i])u=f[u][i],v=f[v][i]; return f[u][0]; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<n;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v),add(v,u); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); printf("%d\n",lca(u,v)); } }
原文链接:https://www.cnblogs.com/gzezzry/p/12096244.html
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