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【模板】矩阵快速幂

2018-06-17 20:43:43来源：未知阅读 ()

题目背景

矩阵快速幂

题目描述

给定n*n的矩阵A，求A^k

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,k

第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

输出格式：

输出A^k

共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

说明

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000 算法：矩阵快速幂

思路：

一道模板矩阵快速幂

首先理解一下什么是矩阵乘法

比如说f[][]矩阵乘j[][]，设答案矩阵为ans[2][2]

则ans[1][1]=f[1][1]*j[1][1]+f[1][2]*j[2][1]+.....+f[1][k]*j[k][1]

ans[1][2]=f[1][1]*j[1][2]+f[1][2]*j[2][2]+.....+f[1][k]*j[k][2]

。

也就是说ans[a][b]=Σf[a][1~k]的每一个元素乘上j[1~k][b]的每个元素

如图：

任务的一半结束，但还差快速幂

我相信你不会天真到在k=10^12的情况下还o(k)地扫一遍

怎么办？？
快速幂来救场

关于快速幂可详见我的另一篇博客

时间降到o(logn);

过了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define rii register int i
#define rij register int j
#define rik register int k
using namespace std;
long long x[105][105],zcq[105][105],ls[105][105],n,k,mod=1e9+7;
void cf2()
{
	long long ans=0;
    for(rii=1;i<=n;i++)
    {
    	for(rij=1;j<=n;j++)
     	{
			ls[i][j]=zcq[i][j];
		 }
	}
	for(rii=1;i<=n;i++)
	{
		for(rij=1;j<=n;j++)
		{
			for(rik=1;k<=n;k++)
    		{
				ans+=(x[i][k]*ls[k][j])%mod;
				ans=ans%mod;
			}
			zcq[i][j]=ans%mod;
			ans=0;
		}
	}
}
void cf1()
{
	long long ans=0;
    for(rii=1;i<=n;i++)
    {
    	for(rij=1;j<=n;j++)
    	{
    		ls[i][j]=x[i][j];
		}
	}
    for(rii=1;i<=n;i++)
    {
    	for(rij=1;j<=n;j++)
    	{
    		for(rik=1;k<=n;k++)
    		{
    			ans+=(ls[i][k]*ls[k][j])%mod;
				ans=ans%mod;
			}
			x[i][j]=ans%mod;
			ans=0;
		}
	}
}
void ksm(long long k)
{
	if(k==0)
	{
		return;
	}
	if(k%2==0)
	{
		cf1();
		ksm(k/2);
		return; 
	} 
	else
	{
		cf2();
		ksm(k-1);
		return;
	}
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(rii=1;i<=n;i++)
    {
    	for(rij=1;j<=n;j++)
    	{
    		scanf("%d",&x[i][j]);
			zcq[i][j]=x[i][j];
		}
	}
    ksm(k-1);
    for(rii=1;i<=n;i++)
    {
    	for(rij=1;j<=n;j++)
    	{
    		printf("%ld ",zcq[i][j]);
		}
    	printf("\n");
    }
}

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