基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python…

2019-01-01 23:21:55来源:博客园 阅读 ()

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前言

本次分析基于 CPython 解释器,python3.x版本

在python2时代,整型有 int 类型和 long 长整型,长整型不存在溢出问题,即可以存放任意大小的整数。在python3后,统一使用了长整型。这也是吸引科研人员的一部分了,适合大数据运算,不会溢出,也不会有其他语言那样还分短整型,整型,长整型...因此python就降低其他行业的学习门槛了。


 

那么,不溢出的整型实现上是否可行呢?

不溢出的整型的可行性

尽管在 C 语言中,整型所表示的大小是有范围的,但是 python 代码是保存到文本文件中的,也就是说,python代码中并不是一下子就转化成 C 语言的整型的,我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。

怎么来存储呢,既然我们要表示任意大小,那就得用动态的可变长的结构,显然,数组的形式能够胜任:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

长整型的保存形式

长整型在python内部是用一个 int 数组( ob_digit[n] )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 123456789 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

低索引保存的是地位,那么每个 int 元素保存多大的数合适?有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 - 1),这样表示大数时,数组长度更短,更省空间。但是,空间确实是更省了,但操作会代码麻烦,比方大数做乘积操作,由于元素之间存在乘法溢出问题,又得多考虑一种溢出的情况。

怎么来改进呢?在长整型的 ob_digit 中元素理论上可以保存的int类型有 32 位,但是我们只保存 15位,这样元素之间的乘积就可以只用 int 类型保存即可, 对乘积结果做位移操作就能得到尾部和进位 carry了,因此定义位移长度为 15:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

PyLong_MASK 也就是 0b111111111111111 ,通过与它做位运算 与 的操作就能得到低位数。

有了这种存放方式,在内存空间允许的情况下,我们就可以存放任意大小的数字了。

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长整型的运算

加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法,例如对于加法运算:

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为方便理解,表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数,计算结果保存在变量z中,那么 z 的数组最多只要 size_a+1 的空间(两个加数中数组较大的元素个数 + 1),因此对于加法运算,处理过程就是各个对应位置的元素进行加法运算,计算过程就是竖式计算的方式:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

这部分的过程就是,先将两个加数中长度较长的作为第一个加数,再为用于保存结果的 z 申请空间,两个加数从数组从低位向高位计算,处理结果的进位,将结果的低 15 位赋值给 z 相应的位置。最后的 long_normalize(z)是一个整理函数,因为我们 z 申请了 a_size+1 的空间,但不意味着 z 会全部用到,因此这个函数会做一些调整,去掉多余的空间,数组长度调整至正确的数量。

若不方便理解,附录将给出更利于理解的 python 代码。

竖式计算不是按个位十位来计算的吗,为什么这边用整个元素?

竖式计算方法适用与任何进制的数字,我们可以这样来理解,这是一个 32768 (2的15次方) 进制的,那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是 “个位”,索引 1 的元素当做是 “十位”。

乘法运算

乘法运算一样可以用竖式的计算方式,两个乘数相乘,存放结果的 z 的元素个数为 size_a+size_b即可:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

这里需要主意的是,当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时,结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0,这 z 进行累加,加法运算则可以利用前面的 x_add 函数:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

这大致就是乘法的处理过程,竖式乘法的复杂度是n^2,当数字非常大的时候(数组元素个数超过 70 个)时,python会选择性能更好,更高效的 Karatsuba multiplication 乘法运算方式,这种的算法复杂度是 3nlog3≈3n1.585,当然这种计算方法已经不是今天讨论的内容了。有兴趣的小伙伴可以去了解下。

总结

要想支持任意大小的整数运算,首先要找到适合存放整数的方式,本篇介绍了用 int 数组来存放,当然也可以用字符串来存储。找到合适的数据结构后,要重新定义整型的所有运算操作,本篇虽然只介绍了加法和乘法的处理过程,但其实还需要做很多的工作诸如减法,除法,位运算,取模,取余等。

python代码以文本形式存放,因此最后,还需要一个将字符串形式的数字转换成这种整型结构:

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

 

这部分不是本篇的重点,有兴趣的同学可以看看这个转换的过程,这个过程还是比较繁琐的,因为它还要处理进制问题,能够处理 0xfff3 或者 0b1011 等情况。

参考

https://github.com/python/cpython/blob/master/Objects/longobject.c

附录

基于 CPython 解释器,为你深度解析为什么Python中整型不会溢出

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