python2.7练习小例子（三）

    3）：题目：一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

    程序分析：假设该数为 x。1、则：x + 100 = n², x + 100 + 168 = m²。2、计算等式：m² - n² = (m + n)(m - n) = 168。3、设置： m + n = i，m - n = j，i * j =168，i 和 j 至少一个是偶数。4、可得： m = (i + j) / 2， n = (i - j) / 2，i 和 j 要么都是偶数，要么都是奇数。5、从 3 和 4 推导可知道，i 与 j 均是大于等于 2 的偶数。6、由于 i * j = 168， j>=2，则 1 < i < 168 / 2 + 1。7、接下来将 i 的所有数字循环计算即可。

    程序源代码：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

for i in range(1,85):
    if 168 % i == 0:
        j = 168 / i;
        if  i > j and (i + j) % 2 == 0 and (i - j) % 2 == 0 :
            m = (i + j) / 2
            n = (i - j) / 2
            x = n * n - 100
            print(x)

    以上实例输出结果为：

 

-99
21
261
1581

    再来看其它的例子：设该数为x：x + 100 = n^2, n^2 + 168 = m^2。设m=n+k（不妨设m,n,k均为自然数）：带入m^2-n^2-168，得k^2+2nk=168。解得n=84/k - k/2；由于n,k均为自然数，则nk>=1，故1<=k^2<168，故1<=k<=12。

 

#!/usr/bin/env python
for x in range(1, 13):
    a = 84/x -x/2
    if int(a) == a:
        n = a ** 2 - 100
        print(n)

    再来看另外一个：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

for i in range(1, 85):
    if 168 % i == 0:
        j = 168 / i
        if i > j:
            m = (i + j )/2
            n = (i - j )/2
            if  m * m - 268 == n * n - 100 and (n * n - 100) % 1 == 0:
                print('x = ', m * m - 268)

    还有一个如下：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

for m in range(168):
    for n in range(m):
        if (m+n)*(m-n)==168:
            x=n**2-100
            print "符合条件的整数有:",x

    根据题意可先求出所求数的最大范围，并在范围内部循环测试是否有满足条件的数字，若有，则打印出来：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

i = 1
#求出最大范围
while ((i+1)*(i+1)-i*i) <= 168:
      i += 1
#循环测试并打印
for j in range(1,i):
    for k in range(1,i):     
        if (k*k - j*j) == 168:
            print k*k-268

    再来看一个：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

#一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

'''
分析：
设这个整数为x
1、 x+100=n^2和x+100+168=m^2
推出 m^2-n^2=168
即   （m+n)(m-n)=168
设    m+n=i m-n=j
则    i*j=168
由    i>0 j>0   推出  i%2=0 j%2=0
由    168=2*2*2*3*7
上面两个条件推出i与j值的范围[2,4,6,12,14,28,42,84]
反推：m=(i+j)/2和n=(i-j)/2 并且 n>0 推得 i>j
则     i=[14,28,42,84]
       j=[12,6,4,2]
'''

arr1=[14,28,42,84]
arr2=[12,6,4,2]
for i in range(0,4):
    m=(arr1[i]+arr2[i])/2
    n=(arr1[i]-arr2[i])/2
    x=n*n-100
    print x

    思路就是根据公式求得X1和X2，然后并集操作。得出结果：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

#X1=N*2-100的合集
x1 = map(lambda i:i**2-100,range(1,100))

#X2=M*2-100-168的合集
x2 = map(lambda i:i**2-100-168,range(1,100))

#两个合集求并集结果
print(set(list(x1)) & set(list(x2)))

    设该数为x：x + 100 = n^2, n^2 + 168 = m^2。设m=n+k（不妨设m,n,k均为自然数）：带入m^2-n^2-168，得k^2+2nk=168。在此基础上 k(k+2n)=168   , 若 k为奇数，k+2n也为奇数，等式不成立，所以k为偶数。则等式除以4,得(k/2)(k/2+n) =42， 令 t=k/2, (t>0)。t(t+n)=42  则 n= 42/t -t ; 由于n大于0，所以 t小于等于6 ，42/t 又是整数，得到 t 的取值为 1,2,3,6。对应得到 x =1581,261,21，-99。这是纯算出来的。

    力求使用最简单易读的方法解决问题：

 

#!/usr/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-

t = []
for m in range(168):
    for n in range(m):
        if m**2 - n**2 == 168:
            x = n**2 - 100
            t.append(x)
print('符合条件的整数有：',t )

    来看Python3 测试：

 

>>> print([n**2-100 for m in range(168) for n in range(m) if(m+n)*(m-n)==168])
[-99, 21, 261, 1581]

    因为题目说明x是整数，但没有说明n和m一定大于零，此处考虑了n和m小于零的情形。x+100=n^2;x+100+168=m^2;(注意，没有要求m,n一定大于零)。m^2-n^2=168 即 (m+n)(m-n)=168。设 m+n=i,m-n=j,则m=(i+j)/2;n=(i-j)/2 有 i*j=168, 因为 m,n 都是整数且 m!=n, 所以 j,i!=0, 因为i*j是正数，故 abs(i)>=1,abs(j)>=1。所以i和j的上限可以取 168。因此m和n的上限也是168,下限可以取-168（注意，m,n的取值范围可以放得很大，不影响结果，因为限制条件可以自己去约束，但所取的范围一定要比真实范围大）。Python3 下测试代码如下：

 

x=[]
for m in range(-168,169):
    for n in range(-168,169):
        if (m+n)*(m-n)==168:#m,n都是整数
            x.append(n**2-100)
x=set(x)#用集合的方法去掉重复值
x=list(x)#将集合类型改为列表类型
print('要求的值为：',x)

    还有一个参考：

 

for i in range(1, 17):
    for x in range(1, 168):
        if 168 - (i ** 2 + 2 * x * i) == 0:
            print x ** 2 - 100

    再来一个参考：

 

class Num:
    def __init__(self):
        pass
    def calc(self):
        for i in range(2,86):
            for j in range(2,86):
                if (i * j == 168) and (i > j):
                    #print(i,j)
                    if ((i % 2 == 0) and (j % 2 ==0)) or ((i % 2 != 0) and (j % 2 !=0)):
                        n = (i-j)/2
                        d = int(n*n -100)
                        print(d)
a = Num().calc()

    先決定範圍，如果(i+1)^2 - i^2 > 168 則超出範圍, 找到i。完全平方定義開根號後為整數 =>。y**0.5 對1取餘數=0 且 z**0.5 對1取餘數=0：

 

i=0
while i^2 < 168:
    i+=1
for x in range(-i**2,i*i):
    y=x+100
    z=y+168
    a=complex(y+0j)**0.5%1
    b=complex(z+0j)**0.5%1
    c=a%1
    d=b%1
    if c== d == 0:
        print x

    最后来看个例子：

 

#!/usr/bin/python
# coding=utf-8

# x^2 + 168 = y^2，则x、y都小于168，而且x应小于y
for y in range(168):
    for x in range(y):
        if y**2 - x**2 == 168:
            n = x**2 - 100
            print n

    不得不说，奇思妙想啊。。。对于本人来说，很难达到这种程度的。如果感觉不错的话，请多多点赞支持哦。。。

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