背包问题

 

01背包

n个物品，v的体积，求最多能装下的价值

每个物品只能拿一次

https://www.acwing.com/problem/content/2/

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main(){
 4     int N,V,dp[1005] = {0};
 5     scanf("%d%d",&N,&V);
 6     for(int i=1,x,y;i<=N;i++){
 7         scanf("%d%d",&x,&y);
 8         for(int j=V;j>=x;j--){
 9             dp[j] = max(dp[j],dp[j-x]+y);
10         }
11     }
12     printf("%d\n",dp[V]);
13     return 0;
14 }

代码

完全背包

n个物品，v的体积，求最多能装下的价值

每个物品可以拿无限次

https://www.acwing.com/problem/content/3/

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main(){
 4     int N,V,dp[1005] = {0};
 5     scanf("%d%d",&N,&V);
 6     for(int i=1,x,y;i<=N;i++){
 7         scanf("%d%d",&x,&y);
 8         for(int j=x;j<=V;j++){
 9             dp[j] = max(dp[j],dp[j-x]+y);
10         }
11     }
12     printf("%d\n",dp[V]);
13     return 0;
14 }

代码

 

多重背包

n个物品，v的体积，求最多能装下的价值

每个物品可以拿k_i次

https://www.acwing.com/problem/content/5/

一个优化：（二进制优化）

显然我们没有必要跑全k_i次，判断下能用完全背包的就用完全背包好了

不能用完全背包的，考虑一个等价的次数，即，每次取1个，2个，4个。。。k_i-2^j+1个

j是最大的能使k_i-2^j+1>0的数

也就是说我们将k_i二进制拆分了

时间复杂度为O(n*m*log(∑k_i))

另一个优化：（单调队列优化）

————咕咕咕——————

时间复杂度O(n*m)

https://www.acwing.com/problem/content/6/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    ll N,V,dp[20005] = {0};
    scanf("%lld%lld",&N,&V);
    for(ll i=1,x,y,z;i<=N;i++){
        scanf("%lld%d%lld",&x,&y,&z);
        if(x*z>V){
            for(int j=x;j<=V;j++){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-x]+y);
            }
        }else{
            for(ll tmp = 1;z-tmp+1 > 0;tmp <<= 1){
                ll k = (z-(tmp<<1)+1)<0?z-tmp+1:tmp;
                for(ll j=V;j>=x*k;j--){
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-x*k]+y*k);
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[V]);
    return 0;
}

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混合背包

前三个混在一起，加个if判断即可

https://www.acwing.com/problem/content/submission/7/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 2e4+7;
int dp[maxn];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(n--){
        int k,value,cnt;
        scanf("%d%d%d",&k,&value,&cnt);
        if(cnt == -1){
            for(int i=m;i>=k;i--){
                dp[i] = max(dp[i],dp[i-k]+value);
            }
        }else if(cnt == 0 || k*cnt>=m){
            for(int i=k;i<=m;i++){
                dp[i] = max(dp[i],dp[i-k]+value);
            }
        }else{
            for(int i=1;cnt-i+1>0;i<<=1){
                int tmp = (cnt-(i<<1)+1)<0?cnt-i+1:i;
                for(int j=m;j>=tmp*k;j--){
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-tmp*k]+tmp*value);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[m]);
    return 0;
}

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二维费用的背包问题

物体不止有体积这个限制条件，还有质量这个限制条件

n个物体，v的背包容积，m的负重限制，还是01背包只能拿一个

https://www.acwing.com/problem/content/submission/8/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e3+7;
int dp[maxn][maxn];
int main(){
    int n,v,m;
    scanf("%d%d%d",&n,&v,&m);
    while(n--){
        int volum,weight,value;
        scanf("%d%d%d",&volum,&weight,&value);
        for(int i=v;i>=volum;i--){
            for(int j=m;j>=weight;j--){
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-volum][j-weight]+value);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[v][m]);
    return 0;
}

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分组背包问题

每组只能拿一个，这样调整下for的顺序就好了

https://www.acwing.com/problem/content/submission/9/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e3+7;
int dp[maxn];
int weight[maxn],value[maxn];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(n--){
        int cnt;
        scanf("%d",&cnt);
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            scanf("%d%d",&weight[i],&value[i]);
        }
        for(int i=m;i>=0;i--){
            for(int j=1;j<=cnt;j++)if(i>=weight[j]){
                dp[i] = max(dp[i],dp[i-weight[j]]+value[j]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

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有依赖的背包问题

要想拿当前物体，必须拿它的父亲

用dfs先处理处子节点，然后拿出当前节点（因为必须拿当前才能拿子节点）

做一个背包，然后把当前节点更新进去

https://www.acwing.com/problem/content/submission/10/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 107;
int n,m,root;
int head[maxn],to[maxn],Next[maxn],tot = 1;
int dp[maxn][maxn],val[maxn],wei[maxn];
void Add(int u,int v){
    to[tot] = v;
    Next[tot] = head[u];
    head[u] = tot++;
}
void dfs(int u){
    for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
        int son = to[i];
        dfs(son);
        for(int j=m-wei[u];j>=wei[son];j--){
            for(int k=wei[son];k<=j;k++){
                dp[u][j] = max(dp[u][j],dp[u][j-k]+dp[son][k]);
            }
        }
    }
    for(int i=m;i>=wei[u];i--)dp[u][i] = dp[u][i-wei[u]]+val[u];
    for(int i=0;i<wei[u];i++)dp[u][i] = 0;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&wei[i],&val[i],&x);
        if(~x)Add(x,i);
        else root = i;
    }
    dfs(root);
    printf("%d\n",dp[root][m]);
    return 0;
}

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背包问题求方案数

加一个数组，更新即可

https://www.acwing.com/problem/content/submission/11/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+7,mod = 1e9+7;
int n,m;
int dp[maxn],ans[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fill(ans,ans+n,1);
    for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        for(int j=m;j>=x;j--){
            if(dp[j]<dp[j-x]+y){
                ans[j] = ans[j-x];
            }else if(dp[j] == dp[j-x]+y){
                ans[j] += ans[j-x];
                ans[j] %= mod;
            }
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-x]+y);
        }
    }
    printf("%d\n",ans[m]);
    return 0;
}

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背包问题求具体方案

求字典序最小的方案

倒着来一遍背包，然后正着扫描一遍

https://www.acwing.com/problem/content/submission/12/

/*author:revolIA*/
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e3+7,mod = 1e9+7;
int n,m;
int dp[maxn][maxn];
int x[maxn],y[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=0;j<x[i];j++)
            dp[i][j] = dp[i+1][j];
        for(int j=x[i];j<=m;j++)
            dp[i][j] = max(dp[i+1][j],(dp[i+1][j-x[i]]+y[i]));
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(m>=x[i] && dp[i][m] == dp[i+1][m-x[i]]+y[i]){
            printf("%d ",i);
            m -= x[i];
        }
    }
    return 0;
}

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原文链接:https://www.cnblogs.com/revolIA-room/p/11615797.html
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