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题解-洛谷P1020P导弹拦截（求单调序列长度的优化…

2019-02-20 00:43:49来源：博客园阅读 ()

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

（原题链接）

　　第一问就是求最长不上升子序列的长度，自然就想到了c++一本通里动态规划里O（n^2）的算法，但题目明确说明“为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分每点两问，按问给分”，自然是要写O(nlogn)的算法才能AC哦。

　　对于这种nlogn的算法，只能求出长度，不能求出具体的序列。这种算法实现过程如下：

　　我们定义len为到目前为止最长不上升子序列的长度，d[l]表示此长度为l的不上升子序列的末尾数据中最下的那个，a[i]为输入的第i个结果。先使d[1]=1，len=1。我们从i=2(i<=n)开始看：

　　如果a[i]<=d[len]，那么使d[++len]=a[i]，即扩充一下目前的最长不上升子序列；

　　否则，a[i]>d[len]，就在数组d中从前往后找到第一个<a[i]的元素d[j]，此时d[i1,2,...,j-1]都>=a[i]，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不上升子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]大），所以就替换掉它就行了。

　　至于第一个大于它的怎么找……STL中的 upper_bound（x,x+n,num,greater<int>()），每次复杂度logn,在不严格单调增加的int型x数组从头找到下标n-1,若找到第一个比num小的数，则返回它的地址，否则返回下标为n的数的地址（地址-数组名=数的下标）。别忘了头文件为<algorithm>。更多用法详见https://blog.csdn.net/qq_40160605/article/details/80150252

　　第二问可由Dilworth定理（大致意思是一个数列分成不上升（或不下降）子序列的最小数=该数列的最长上升（或下降）子序列的长度）知该问是求最长上升子序列

的长度。具体实现过程与第一问类似只是将第一问实现过程中加粗的4个不等号分别改成“>,<=,>,<=”就行了，思路与第一问一模一样。

终于上代码了：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int a[100001],d[100001];
 6 int n;
 7 void bss();
 8 void ss();
 9 int main()
10 {
11     char ch=' ';
12     while(ch==' ')
13     {
14         scanf("%d",&a[++n]);
15         ch=getchar();
16     }
17     bss();//求最大不上升序列长度的函数
18     ss();//求最大上升序列的长度的函数
19     return 0;
20 } 
21 void bss()
22 {
23     int len=1;
24     d[len]=a[1];
25     for(int i=2;i<=n;++i)
26     {
27         if(a[i]<=d[len])
28         {
29             d[++len]=a[i];
30         }
31         else
32         {
33             d[upper_bound(d+1,d+len+1,a[i],greater<int>())-d]=a[i];
34         }
35     }
36     cout<<len<<endl;
37 }
38 void ss()
39 {
40     int len=1;
41     d[len]=a[1];
42     for(int i=2;i<=n;++i)
43     {
44         if(a[i]>d[len])
45         {
46             d[++len]=a[i];
47         }
48         else
49         {
50             if(a[i]!=d[len])
51             {
52             d[lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d]=a[i];
53             }
54         }
55     }
56     cout<<len;
57 }//代码已AC