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博弈论入门 Bash 、Nim 、Wythoff's Gam…

2019-01-23 07:39:21来源：博客园阅读 ()

SG函数先不说，给自己总结下三大博弈。和二进制及黄金分割联系密切，数学真奇妙，如果不用考试就更好了。

1.Bash Game：n个物品，最少取1个，最多取m个，先取完者胜。

给对手留下(m+1)的倍数肯定获胜。若n%(m+1)==0，先手必败。

51nod裸题：1066

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int main(){
 5     int t; cin>>t;
 6     int n,k;
 7     while(t--){
 8         cin>>n>>k;
 9         if(n%(k+1)==0)  puts("B");
10         else  puts("A");
11     }
12     return 0;
13 }

2.Nim Game：n堆物品，取某一堆的若干个，至少取一个，多者不限，先取完者胜。

在这个博弈中，对任何奇异局势 (a,b,c....n)，都有a^b^...^n==0。

所以直接检测给的局势，若是奇异局，先手必败。

如何将(a,b,c)转化成奇异局：将c变为a^b,即c -= a^b（^是异或）

51nod裸题：1069

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int main(){
 5     int a[1005]={0};
 6     int ans=0;
 7     int n; cin>>n;
 8     for(int i=0;i<n;i++){
 9         cin>>a[i];
10         ans^=a[i];
11     }
12     if(ans)  puts("A");
13     else  puts("B");
14     return 0;
15 }

3.Wythoff's Game：两堆若干个，轮流从某一堆取任意个或同时从两堆取同样多任意个，最少一个，多者不限。先取完者胜。

局势：(ak,bk)

前几个奇异局：(0,0) (1,2) (3,5) (4,7) (6,10) (8,13) (9,15) (11,18) (12,20)……

1.发现差值递增，且局面中第一个值为前面局面中没有出现过的数字的第一个数，且所有自然数都会出现。

2.再找规律：第一个值=(int) (差值*1.618) 而1.618 = ( sqrt(5)+1 )/2

3.所以，只要ak == (int) (bk - ak) * ( sqrt(5) + 1 ) / 2 先手必输，否则先手必胜

51nod裸题：1072

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 double c=(sqrt(5)+1)/2;
 6 int main(){
 7     int t; cin>>t;
 8     int ak,bk;
 9     while(t--){
10         cin>>ak>>bk;
11         if(ak>bk) swap(ak,bk);
12         int n=(bk-ak)*c;
13         if(ak==n)  puts("B");
14         else  puts("A");
15     }
16     return 0;
17 }