【C++学习笔记】强大的算法——spfa

2018-09-01 05:38:22来源:博客园 阅读 ()

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  • spfa的定义

  PFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm,用于求单源最短路,由西南交通大学段凡丁于1994年发表。当给定的图存在负边时,Dijkstra算法就无能为力了,然而bellman_ford算法的复杂度又太高。在这种情况下spfa算法就有了用武之地。

  • spfa实现

  为了简单起见,我们首先约定有向图G中不存在负权回路(如果有就不会存在最短路了),在执行spfa时如果一个节点入队次数超过 n 次(n为节点总数),那么图中就存在负环。我们用数组 dis[ ] 来储存最短路的当前最优值,用邻接表(推荐)或邻接矩阵来储存图。

  • 首先设立一个先进先出的队列 q 来保存待优化的节点,再优化时依次取出队首的节点U,并利用节点U当前的最短路径最优值(dis[u] )对离开U所指向的节点V施行 松弛操作 。如果V的最短路径估计值有所调整(),且V不在当前的队列 q 中,那么就将 V 入队。不断重复上述操作直到队列为空。
    • 关于松弛操作: 松弛操作的原理是定理: “三角形两边之和大于第三边” ,在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点 i , j进行松弛,就是判定是否dis[ j ] > dis[ i ] + w[ i , j ],如果该式成立则将 dis[ j ] 减小到 dis[ i ] + w[ i , j ],否则不动。

  利用下图来演示一下spfa算法的过程:

  • spfa和bfs的区别:

  SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似,不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进(重新入队),于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。

  • 具体代码实现

其中 vis[ i ] 判断点 i 是否已经入队,a[ i ][ n ] 表示从 i 到 n 的权值

 1 void spfa ( int s )  {    //求s到其它各点的最短路
 2     for ( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
 3         dis[i] = 99999999; //初始化
 4      }
 5     dis[ s ] = 0; vis[s] = 1; q[ 1 ] = s;    //以 S 为起点
 6     int i, v, head = 0, tail = 1;
 7     while ( head < tail ) {    //判断队列非空
 8         head ++;
 9         v = q[ head ];
10         vis[ v ] = 0;    //释放队首元素,因为该节点可能下次用来松弛
11         for ( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
12             if ( a[ v ][ i ] > 0 && dis[ i ] > dis[ v ] + a[ v ][ i ] ) {
13                 dis[ i ] = dis[ v ] + a[ v ] [ i ];    //符合条件,修改最短路
14                 if ( vis[ i ] == 0 ) {    //如果扩展节点不在队列中,入队!
15                     tail ++;
16                     q[ tail ] = i;
17                     vis[ i ] = 1;
18                 }
19             }
20         }
21     }
22 }  
  • spfa的优化
    • dfs

  在以上的 spfa算法 中,当图中存在负环时,算法的复杂度将会退化成 O(m * n)。因此我们试着用 bfs 来改进一下。核心思路是 每当更新一个节点 u 时,从该节点开始递归进行下一次迭代。相比于原来的算法,使用 bfs 有一个天然的优势,在环上走了一圈后如果回到已经遍历过的节点,则说明图中存在负环(比原先的方法快了不止一点)。用二维数组 a[ ][ ] 和 v[ ][ ] 来存图,其中 a[ i ][ 0 ] 储存从节点 i 出发共有几条边, a[ i ][ n ] 储存从节点 i 出发的第 n 条边的终点,v[ n ][ m ] 储存边从 n 到 m 的权值。(由此可见好的数据结构可以为我们省下大量的时间)

1  void spfa_dfs ( int st ) {    //寻找以 节点st 为原点的最短路 
2      for ( int i = 1; i <= b[st][0]; i ++ ) {     //遍历节点所连接的边 
3          if ( dis[ a[st][i] ] > dis[st] + v[st][ a[st][i] ] ) {
4              dis[ a[st][i] ] = dis[s] + v[st][ a[st][i] ];    //标准的spfa 
5              spfa ( b[st][i] );    //从入队的节点开始下一次迭代 
6          }
7      }
8  }    /* 用数组 dis[ ] 来储存结果*/
    • 前向星优化

  前向星型表示法(star)的思想和邻接表表示法的的思想有一定的相似之处,对于每个节点它也是记录从该节点出发的所有的边,但它没有采用单向链表而是用一个一维数组表示。也就是说,在该数组中首先存放从结点1出发的所有弧,然后接着存放从节点2出发的所有孤,依此类推,最后存放从结点n出发的所有孤。对每条弧,要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号,只是从同一结点出发的弧的顺序可以任意排列。此外,为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧,我们一般还用一个数组记录每个结点出发的弧的起始地址(即弧的编号)。在这种表示法中,可以快速检索从每个结点出发的所有弧,这种星形表示法称为前向星形(forward star)表示法,也是一种常见的存图方法。

具体代码实现

 1 int first[10005];  /* 关于 前向星 详见我的另一篇随笔 */
 2 struct edge {
 3     int point, next, len;
 4 };
 5 edge e[10005]
 6 
 7 void add(int i, int u, int v, int w){
 8     e[i].point = v;
 9     e[i].next = first[u];
10     e[i].len = w;
11     first[u] = i;
12 }
13 
14 int main(){
15     int n, m;
16     cin >> n >> m;
17     for ( int i = 1; i <= m; i ++ ) {
18         int u, v, w;
19         cin >> u >> v >> w;
20         add ( i, u, v, w );
21     }
22     for ( int i = 0; i <= n; i ++ ) {
23         cout << "from " << i << endl;
24         for ( int j = first[i]; j ; j = e[j].next )  //这就是遍历边了
25             cout << "to " << e[j].point << " length= " << e[j].len << endl;
26     }
27 }

 

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