uva11768 Lattice Point or Not
2018-08-14 09:53:37来源:博客园 阅读 ()
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比较经典的扩展欧几里德求整数解的问题。
对于两个点(x1,y1)(x2,y2),如果点为整数点,那么必定能通过扩展欧几里德求出区间中的整点个数,即对方程(y2-y1)x+(x1-x2)y=x1y2-x2y1 求解。
由于此题的点精确到小数后1位,我们可以将x1,y1,x2,y2分别放大10倍,问题转变成对方程[10*(y2-y1)]*x+[10*(x1-x2)]y=100*(x1y2-x2y1)求解。
记a=10*(y2-y1),b=10*(x1-x2) ,c=100*(x1y2-x2y1), g=gcd(a,b)
那么用扩展欧几里德可以得到aX+bY=gcd(a,b)的一组解。注意,这里得到的一组解仅保证abs(X+Y)取到最小值
判断需要求解的方程是否有解,只需要判断c%gcd(a,b)==0是否成立即可。
那么就可以得到需要求解的方程的一组解:X0=X*c/g, Y0=Y*c/g
此时就可以对区间有几个解进行计算了。
另外,因为之前扩展欧几里德写的少,所以xjb写了一发暴力,此处贴上代码。
正解:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long LL; 4 int T; 5 LL x[2], y[2]; 6 void read(LL &x) 7 { 8 LL a, b; 9 scanf("%lld.%lld", &a, &b); 10 x = a * 10 + b; 11 } 12 void exgcd(LL a, LL b, LL& g, LL& x, LL& y) 13 { 14 if (!b) g = a, x = 1, y = 0; 15 else exgcd(b, a%b, g, y, x), y -= x * (a / b); 16 } 17 LL solve() 18 { 19 LL ans = 0; 20 for (int i = 0; i < 2; i++)read(x[i]), read(y[i]); 21 if (x[0] > x[1] || x[0] == x[1] && y[0] > y[1]) { 22 swap(x[0], x[1]); 23 swap(y[0], y[1]); 24 } 25 26 if (x[0] == x[1]) { 27 if (x[0] % 10)return 0; 28 return max(0LL, y[1] / 10 - (y[0] + 9) / 10 + 1); 29 } 30 if (y[0] == y[1]) { 31 if (y[0] % 10)return 0; 32 return max(0LL, x[1] / 10 - (x[0] + 9) / 10 + 1); 33 } 34 35 LL a, b, g, X, Y; 36 a = (y[1] - y[0]) * 10; 37 b = (x[0] - x[1]) * 10; 38 exgcd(a, b, g, X, Y); 39 LL c = x[0] * y[1] - x[1] * y[0]; 40 if (c%g)return 0; 41 X = X * c / g; 42 x[0] = (x[0] + 9) / 10; 43 x[1] = x[1] / 10; 44 if (x[0] > x[1])return 0; 45 LL st = abs(b / g); 46 LL cx = X - (X - x[0]) / st * st; 47 if (cx < x[0])cx += st; 48 if (cx > x[1])return 0; 49 return (x[1] - cx) / st + 1; 50 } 51 int main() 52 { 53 //freopen("in.txt", "r", stdin); 54 //freopen("out.txt", "w", stdout); 55 scanf("%d", &T); 56 while (T--) { 57 printf("%lld\n", solve()); 58 } 59 }
暴力:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long LL ; 4 int T; 5 LL x[2], y[2]; 6 LL gcd(LL a, LL b) 7 { 8 return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); 9 } 10 void read(LL &x) 11 { 12 LL a, b; 13 scanf("%lld.%lld", &a, &b); 14 x = a * 10 + b; 15 } 16 int main() 17 { 18 scanf("%d", &T); 19 while (T--) { 20 for (LL i = 0; i < 2; i++)read(x[i]), read(y[i]); 21 /*for (int i = 0; i < 2; i++) { 22 x[i] = (rand() % 200 + 1) * 10; 23 y[i] = (rand() % 200 + 1) * 10; 24 }*/ 25 //printf("%d %d %d %d\n", x[0], y[0], x[1], y[1]); 26 if (x[0] > x[1] || x[0] == x[1] && y[1] > y[0]) { 27 swap(x[0], x[1]); 28 swap(y[0], y[1]); 29 } 30 if (x[0] == x[1] && (x[0] % 10) || y[0] == y[1] && (y[0] % 10)) { 31 printf("0\n"); 32 continue; 33 } 34 if (x[0] == x[1] && y[0] == y[1]) { 35 if (x[0] % 10 == 0 && y[0] % 10 == 0) { 36 printf("1\n"); 37 } 38 else printf("0\n"); 39 continue; 40 } 41 LL dx = abs(x[0] - x[1]); 42 LL dy = abs(y[0] - y[1]); 43 LL g = gcd(dx, dy); 44 LL st = dx / g; 45 LL cx = x[0], cy = y[0]; 46 LL ans = 0; 47 for (LL i = 0; i <= 100 && cx <= x[1] && (cy - y[0])*(cy - y[1]) <= 0; i++) { 48 if (cx % 10 == 0 && cy % 10 == 0) { 49 long long gc = gcd(gcd(st, 10), gcd(dy / g, 10)); 50 LL t = 10 / gcd(gcd(st, 10), gcd(dy / g, 10)); 51 if (st)ans = 1 + (x[1] - cx) / (t*st); 52 else ans = abs(y[1] - cy) / (dy / g * t) + 1; 53 break; 54 } 55 cx += st; 56 cy += (y[1] - y[0]) / g; 57 } 58 printf("%lld\n", ans); 59 } 60 }
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