线段树模板简略解释
2018-06-29 06:14:41来源:博客园 阅读 ()
◎引例◎
在详细解释之前,我们先来看一下洛谷上的两个线段树模板题目(洛谷P3372、P3373)。
模板(一)
模板(二)
从这几到题目可以看出,线段树的基本操作大致有三种:①给区间中的每一个元素加一个值 ②给区间中的每一个元素乘一个值 ③求出一个区间的每个元素和,下面我们先对线段树做一个基本的了解。
◎线段树的定义和结构◎
线段树的定义
线段树是一种二叉搜索树,时间复杂度为O(nlogn)。
线段树的结构
线段树,顾名思义,是树形结构,如下图所示:
线段树应用了二分的思想,“树根”带表总的区间,然后不断对区间二分,直到代表单个值。在上述两个例题中,线段树的节点值都代表了所覆盖区间的元素和,在一些其他情况下,这个节点值也可以代表其他的东西,例如:区间的最大值或者最小值等等。
◎线段树的建树◎
线段树的建树过程就是一个不断二分区间的过程(解释的通俗,但是可能不准确……)。从最大的区间开始,一步一步的二分,直到左右区间重合,也就是到了叶子结点,就开始给线段树赋值,下面附建树代码(本文的代码都是上文例题中的节选,在不同的题目中,可能有所不同)
void build(int l,int r,int u){ //[l,r]区间,u节点 tree[u].l=l,tree[u].r=r; if(tree[u].l==tree[u].r){ //[l,r]区间只有一个数(到达低端) scanf("%lld",&tree[u].w); return; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,u+u); //建立左子树 build(mid+1,r,u+u+1); //建立右子树 tree[u].w=tree[u+u].w+tree[u+u+1].w; //根节点=左子树+右子树 }
◎线段树的区间修改◎
区间修改可以说是线段树最难理解的一部分,因为在这里有线段树特有的标记,名叫——懒惰标记(lazytag)。这个标记的大致作用就是在修改的时候,只修改当前节点,而不是全部,这也是线段树时间复杂度低的原因,而这就用到了lazytag,用来记录修改操作。然后,下一次修改时,如果当前的标记影响到了修改,就将标记下推。
◎线段树的区间查询◎
在熟练区间修改之后,查询就相对来说简单了,依旧是应用了二分的思想。
◎例题代码◎
例题(一)
#include<bits/stdc++.h> #define MAXN 100007 using namespace std; int n,m,x,y,k,q; long long ans; struct Tree{ int l; int r; //[l,r]区间 long long int w; //当前区间的值 int lazytag; }tree[MAXN<<2]; //MAXN*2^2 inline void build(int l,int r,int u){ //[l,r]区间,u节点 tree[u].l=l,tree[u].r=r; if(tree[u].l==tree[u].r){ //[l,r]区间只有一个数(到达低端) scanf("%lld",&tree[u].w); return; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,u+u); //建立左子树 build(mid+1,r,u+u+1); //建立右子树 tree[u].w=tree[u+u].w+tree[u+u+1].w; //根节点=左子树+右子树 } inline void down(int u){ tree[u+u].lazytag+=tree[u].lazytag; tree[u+u+1].lazytag+=tree[u].lazytag; //lazytag下推 tree[u+u].w+=(tree[u+u].r-tree[u+u].l+1)*tree[u].lazytag; tree[u+u+1].w+=(tree[u+u+1].r-tree[u+u+1].l+1)*tree[u].lazytag; //重置区间值 tree[u].lazytag=0; //删除lazytag } inline void change(int u){ if(tree[u].l>=x && tree[u].r<=y){ //--->[x,y]区间包含[l,r]区间 tree[u].w+=(tree[u].r-tree[u].l+1)*k; //[l,r]的和加个数*k tree[u].lazytag+=k; //lazytag----该节点以下的叶节点+k return; } if(tree[u].lazytag) down(u); //有lazytag就下推 int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>1; if(x<=mid) change(u+u); //修改左区间 if(mid<y) change(u+u+1); //修改右区间 tree[u].w=tree[u+u].w+tree[u+u+1].w; //重置节点值 } inline void ask(int u){ if(tree[u].l>=x && tree[u].r<=y){ //--->[x,y]区间包含[l,r]区间 ans+=tree[u].w; return; } if(tree[u].lazytag) down(u); int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>1; if(x<=mid) ask(u+u); if(y>mid) ask(u+u+1); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); build(1,n,1); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d",&q); if(q==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); change(1); } else{ ans=0; scanf("%d%d",&x,&y); ask(1); printf("%lld\n",ans); } } return 0; }
例题(二)
#include<bits/stdc++.h> #define MAXN 100100 using namespace std; typedef long long LL; struct Tree{ LL l; LL r; LL w; LL jl; LL cl; Tree(){ l=r=jl=0; w=0; cl=1; } }tree[MAXN<<2]; LL n,m; LL ans,p; LL q,x,y,k; LL read(){ LL x=0; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return x; } void build(int l,int r,int u){ tree[u].l=l; tree[u].r=r; if(l==r){ tree[u].w=read()%p; return; } int m=(l+r)>>1; build(l,m,u+u); build(m+1,r,u+u+1); tree[u].w=(tree[u+u].w+tree[u+u+1].w)%p; } void down(int u){ tree[u+u].w=(tree[u+u].w*tree[u].cl+tree[u].jl*(tree[u+u].r-tree[u+u].l+1))%p; tree[u+u+1].w=(tree[u+u+1].w*tree[u].cl+tree[u].jl*(tree[u+u+1].r-tree[u+u+1].l+1))%p; tree[u+u].cl=(tree[u+u].cl*tree[u].cl)%p; tree[u+u+1].cl=(tree[u+u+1].cl*tree[u].cl)%p; tree[u+u].jl=(tree[u+u].jl*tree[u].cl+tree[u].jl)%p; tree[u+u+1].jl=(tree[u+u+1].jl*tree[u].cl+tree[u].jl)%p; tree[u].cl=1; tree[u].jl=0; return; } void add(int u){ if(tree[u].l>y || tree[u].r<x) return; if(tree[u].l>=x && tree[u].r<=y){ tree[u].jl=(tree[u].jl+k)%p; tree[u].w=(tree[u].w+k*(tree[u].r-tree[u].l+1))%p; return; } down(u); int m=(tree[u].r+tree[u].l)>>1; if(m>=x) add(u+u); if(m<y) add(u+u+1); tree[u].w=(tree[u+u].w+tree[u+u+1].w)%p; } void mul(int u){ if(tree[u].l>y || tree[u].r<x) return; if(tree[u].l>=x && tree[u].r<=y){ tree[u].w=(tree[u].w*k)%p; tree[u].cl=(tree[u].cl*k)%p; tree[u].jl=(tree[u].jl*k)%p; return; } down(u); int m=(tree[u].r+tree[u].l)>>1; if(m>=x) mul(u+u); if(m<y) mul(u+u+1); tree[u].w=(tree[u+u].w+tree[u+u+1].w)%p; } LL search(int u){ if(tree[u].l>y || tree[u].r<x) return 0; if(tree[u].l>=x && tree[u].r<=y) return tree[u].w%p; down(u); int m=(tree[u].r+tree[u].l)>>1; return (search(u+u)+search(u+u+1))%p; } int main(){ int i,j; n=read(),m=read(),p=read(); build(1,n,1); for(i=1;i<=m;i++){ q=read(); if(q==1){ x=read(),y=read(),k=read(); mul(1); } else if(q==2){ x=read(),y=read(),k=read(); add(1); } else{ x=read(),y=read(); cout<<search(1)<<endl; } } return 0; }
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