tarjan算法详解
2018-06-27 10:01:20来源:未知 阅读 ()
tarjan算法讲解。
tarjan算法,一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS算法,深度优先搜索一张有向图。!注意!是有向图。根据树,堆栈,打标记等种种神奇方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性,就是任督二脉通不通。。的问题。
了解tarjan算法之前你需要知道:
强连通,强连通图,强连通分量,解答树(解答树只是一种形式。了解即可)
强连通(strongly connected): 在一个有向图G里,设两个点 a b 发现,由a有一条路可以走到b,由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点(a,b)强连通。
强连通图: 如果 在一个有向图G中,每两个点都强连通,我们就叫这个图,强连通图。
强连通分量strongly connected
components):在一个有向图G中,有一个子图,这个子图每2个点都满足强连通,我们就叫这个子图叫做 强连通分量 [分量::把一个向量分解成几个方向的向量的和,那些方向上的向量就叫做该向量(未分解前的向量)的分量]
举个简单的栗子:
比如说这个图,在这个图中呢,点1与点2互相都有路径到达对方,所以它们强连通.
而在这个有向图中,点1 2 3组成的这个子图,是整个有向图中的强连通分量。
解答树:就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树(图),其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用,一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程!”
tarjan算法,之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图,就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1, DFN[]作为这个点搜索的次序编号(时间戳),简单来说就是 第几个被搜索到的。%每个点的时间戳都不一样%。
2, LOW[]作为每个点在这颗树中的,最小的子树的根,每次保证最小,喜欢它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW[]最小,那这个点就应该从新分配,变成这个强连通分量子树的根节点。
ps:每次找到一个新点,这个点LOW[]=DFN[]。
而为了存储整个强连通分量,这里挑选的容器是,堆栈。每次一个新节点出现,就进站,如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底,每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值,谁小就取谁,保证最小的子树根。如果找到DFN[]==LOW[]就说明这个节点是这个强连通分量的根节点(毕竟这个LOW[]值是这个强连通分量里最小的。)最后找到强连通分量的节点后,就将这个栈里,比此节点后进来的节点全部出栈,它们就组成一个全新的强连通分量。
先来一段伪代码:
tarjan(u){
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。
从1进入 DFN[1]=LOW[1]= ++index ----1
入栈 1
由1进入2 DFN[2]=LOW[2]= ++index ----2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN[3]=LOW[3]= ++index ----3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN[6]=LOW[6]=++index ----4
入栈 1 2 3 6
之后发现6无出度,之后判断 DFN[6]==LOW[6]
说明6是个强连通分量的根节点:6及6以后的点 出栈。
栈: 1 2 3
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW[3]还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了,判断 DFN[3]==LOW[3]
说明3是个强连通分量的根节点:3及3以后的点 出栈。
栈: 1 2
之后退回 节点2 嗯?!往下到节点5
DFN[5]=LOW[5]= ++index -----5
入栈 1 2 5
ps:你会发现在有向图旁边的那个丑的(划掉)搜索树 用红线剪掉的子树,那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。
结点5 往下找,发现节点6 DFN[6]有值,被访问过。就不管它。
继续 5往下找,找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN[1]被访问过并且还在栈中,说明1还在这个强连通分量中,值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系,在这棵强连通分量树中,5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。So
LOW[5]= 1
由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW[2]=1;
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW[1]还是 1
1还有边没有走过。发现节点4,访问节点4
DFN[4]=LOW[4]=++index ----6
入栈 1 2 5 4
由节点4,走到5,发现5被访问过了,5还在栈里,
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW[4]=5
说明4是5的一个子节点。
由4回到1.
回到1,判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW[1]还是 1 。
判断 LOW[1] == DFN[1]
诶?!相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点,都出栈。
栈 :(鬼都没有了)
这个时候就完了吗?!
你以为就完了吗?!
然而并没有完,万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢?!
所以。tarjan的调用最好在循环里解决。
like 如果这个点没有被访问过,那么就从这个点开始tarjan一遍。
因为这样好让每个点都被访问到。
基本思路:
1.初始化
2.入栈
3.枚举:
1.不在队列中->访问,进行赋值,
2.在队列中->赋值
4.寻找根->输出结果
来一道裸代码。
输入:
一个图有向图。
输出:
它每个强连通分量。
这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
a Sans Unicode";
mso-hansi-font-family:"Lucida Sans Unicode";mso-bidi-font-family:"Lucida Sans Unicode";
color:black'>的一个子节点。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; struct node { int v,next; } edge[1001]; int DFN[1001],LOW[1001]; int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index; void add(int x,int y) { edge[++cnt].next=heads[x]; edge[cnt].v = y; heads[x]=cnt; return ; } void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。 DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。 stack[++index]=x;//进站 visit[x]=1;//表示在栈里 for(int i=heads[x]; i!=-1; i=edge[i].next) { if(!DFN[edge[i].v]) { //如果没访问过 tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸,开始递归 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情。 } else if(visit[edge[i].v ]) { //如果访问过,并且还在栈里。 LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子/父亲。就是链接对应关系 } } if(LOW[x]==DFN[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。 do { printf("%d ",stack[index]); visit[stack[index]]=0; index--; } while(x!=stack[index+1]);//出栈,并且输出。 printf("\n"); } return ; } int main() { memset(heads,-1,sizeof(heads)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int x,y; for(int i=1; i<=m; i++) { scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); } for(int i=1; i<=n; i++) if(!DFN[i]) tarjan(1);//当这个点没有访问过,就从此点开始。防止图没走完 return 0; }
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> using namespace std; struct node { int u; int v; int w; int next; }edge[101]; int head[101]; int num=1; void add(int x,int y) { edge[num].u=x; edge[num].v=y; edge[num].next=head[x]; head[x]=num++; } int dfn[1001];// 既可以用来表示一个点的被访问的顺序,又可以判断是否出现过 int low[1001]; int stack[101]; int top=0; int now=0;// 已经访问的数的数量 int vis[1001];//表示是否在栈中 void tarjan(int x) { vis[x]=1; dfn[x]=low[x]=++now; stack[++top]=x; for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next) { if(!dfn[edge[i].v]) { tarjan(edge[i].v); low[x]=min(low[x],low[edge[i].v]); } else if(vis[edge[i].v]) { low[x]=min(low[x],dfn[edge[i].v]); } } if(low[x]==dfn[x]) { do { printf("%d ",stack[top]); vis[stack[top]]=0; top--; }while(x!=stack[top+1]); putchar('\n'); } return; } int main() { for(int i=1;i<=101;i++) head[i]=-1; int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); } for(int i=1;i<=n;i++) { if(dfn[i]==0) { tarjan(i); } } return 0; }
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