树上莫队算法
2018-06-27 09:43:00来源:博客园 阅读 ()
简介
树上莫队,顾名思义就是把莫队搬到树上。
我们从一道题目入手[SDOI2018]原题识别 SPOJ Count on a tree II
题目意思很明确:给定一个$n$个节点的树,每个节点表示一个整数,问$u$到$v$的路径上有多少个不同的整数。
像这种不带修改数颜色的题首先想到的肯定是树套树莫队,那么如何把在序列上的莫队搬到树上呢?
算法
欧拉序
我们考虑用什么东西可以把树上的问题转化到序列上,dfs序是可以的,但是这道题不行(无法搞lca的贡献)
有一种神奇的东西,叫做欧拉序。
它的核心思想是:当访问到点$i$时,加入序列,然后访问$i$的子树,当访问完时,再把$i$加入序列
煮个栗子,下面这棵树的欧拉序为
$1\ 2\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ 3\ 7\ 7\ 2\ 1$
树上莫队
有了这个有什么用呢?
我们考虑我们要解决的问题:求$x$到$y$的路径上有多少个不同的整数
这里我们设$st[i]$表示访问到$i$时加入欧拉序的时间,$ed[i]$表示回溯经过$i$时加入欧拉序的时间
不妨设$st[x]<st[y]$(也就是先访问$x$,再访问$y$)
分情况讨论
若$lca(x,y) = x$,这时$x,y$在一条链上,那么$st[x]$到$st[y]$这段区间中,有的点出现了两次,有的点没有出现过,这些点都是对答案没有贡献的,我们只需要统计出现过$1$次的点就好
比如当询问为$2,6$时,$(st[2],st[6])=2\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6$,$4,5$这两个点都出现了两次,因此不统计进入答案
若$lca(x,y) \not = x$,此时$x,y$位于不同的子树内,我们只需要按照上面的方法统计$ed[x]$到$st[y]$这段区间内的点。
比如当询问为$4,7$时,$(ed[4],st[7]) = 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ 3\ 7\ $。大家发现了什么?没错!我们没有统计$lca$,因此我们需要特判$lca$
然后就没啦,开始愉快的调代码吧
相关证明
此处纯为作者瞎扯。。。
- 为什么出现两次的点不统计答案
树上路径的定义为:从$x$到$y$经过节点个数最少的路径。
若一个点$k$出现两次,说明我们可以先访问$k$,进入$k$的子树中,然后出来,再到$y$,很显然不访问$k$是更优的。因此出现两次的点不能统计入答案
- 为什么当$lca(x,y) \not =x$时需要从$ed[x]$开始遍历
从$st[x]$到$ed[x]$为$x$的子树中的节点,很显然这些节点不能统计进答案
代码
注意我们询问的区间长度为$2*N$,所以预处理的时候一定要循环到$2*N$!
#include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf; using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 10; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } int N, Q; int belong[MAXN], block; struct Query { int l, r, ID, lca, ans; bool operator < (const Query &rhs) const{ return belong[l] == belong[rhs.l] ? r < rhs.r : belong[l] < belong[rhs.l]; // return belong[l] < belong[rhs.l]; } }q[MAXN]; vector<int>v[MAXN]; int a[MAXN], date[MAXN]; void Discretization() { sort(date + 1, date + N + 1); int num = unique(date + 1, date + N + 1) - date - 1; for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = lower_bound(date + 1, date + num + 1, a[i]) - date; } int deep[MAXN], top[MAXN], fa[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], st[MAXN], ed[MAXN], pot[MAXN], tot; void dfs1(int x, int _fa) { fa[x] = _fa; siz[x] = 1; st[x] = ++ tot; pot[tot] = x; for(int i = 0; i < v[x].size(); i++) { int to = v[x][i]; if(deep[to]) continue; deep[to] = deep[x] + 1; dfs1(to, x); siz[x] += siz[to]; if(siz[to] > siz[son[x]]) son[x] = to; } ed[x] = ++tot; pot[tot] = x; } void dfs2(int x, int topfa) { top[x] = topfa; if(!son[x]) return ; dfs2(son[x], topfa); for(int i = 0; i < v[x].size(); i++) { int to = v[x][i]; if(top[to]) continue; dfs2(to, to); } } int GetLca(int x, int y) { while(top[x] != top[y]) { if(deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y); x = fa[top[x]]; } return deep[x] < deep[y] ? x : y; } void DealAsk() { for(int i = 1; i <= Q; i++) { int x = read(), y = read(); if(st[x] > st[y]) swap(x, y); int _lca = GetLca(x, y); q[i].ID = i; if(_lca == x) q[i].l = st[x], q[i]. r = st[y]; else q[i].l = ed[x], q[i].r = st[y], q[i].lca = _lca; } } int Ans, out[MAXN], used[MAXN], happen[MAXN]; void add(int x) { if(++happen[x] == 1) Ans++; } void delet(int x) { if(--happen[x] == 0) Ans--; } void Add(int x) { used[x] ? delet(a[x]) : add(a[x]); used[x] ^= 1; } void Mo() { sort(q + 1, q + Q + 1); int l = 1, r = 0, fuck = 0; for(int i = 1; i <= Q; i++) { while(l < q[i].l) Add(pot[l]), l++, fuck++; while(l > q[i].l) l--, Add(pot[l]), fuck++; while(r < q[i].r) r++, Add(pot[r]), fuck++; while(r > q[i].r) Add(pot[r]), r--, fuck++; if(q[i].lca) Add(q[i].lca); q[i].ans = Ans; if(q[i].lca) Add(q[i].lca); } for(int i = 1; i <= Q; i++) out[q[i].ID] = q[i].ans; for(int i = 1; i <= Q; i++) printf("%d\n", out[i]); } int main() { N = read(); Q = read(); //block = 1.5 * sqrt(2 * N) + 1; //block = pow(N, 0.66666666666); block = sqrt(N); for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = date[i] = read(); for(int i = 1; i <= N * 2; i++) belong[i] = i / block + 1; Discretization(); for(int i = 1; i <= N - 1; i++) { int x = read(), y = read(); v[x].push_back(y); v[y].push_back(x); } deep[1] = 1; dfs1(1, 0); dfs2(1, 1); /* for(int i = 1; i <= N; i++) for(int j = 1; j <= i - 1; j++) printf("%d %d %d\n", i, j, GetLca(i, j));*/ DealAsk(); Mo(); return 0; }
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