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【NOIP训练】【规律+数论】欧拉函数的应用

2018-06-17 23:48:58来源：未知阅读 ()

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Problem 1

【题目大意】

给出 $f(i)=\sum_{(x,i)=1}x\,,\,g(i)=\sum_{x|i}f(x)$

多组数据 $T\leq1000$ ，给出 $n\,(n\leq10^9)$ 求出 g(n) 。

题解

$f(i)=\frac{\phi(i)n}{2}$

证明: $$\phi$(i)$ 除了 i=2 以为均为偶数，所以互质的个数成对。

由 (a,n)=1 得 (n-a,n)=1 。

所以对于每对的和为，共有 $\frac{\phi(i)}{2}$ 对。

则 $f(i)=\frac{\phi(i)n}{2}$

Problem 2

【题目大意】

在第一个圆上写入，在第二个圆上写入 1,2 ，此后每一次在前一个圆的基础上，每两个数之间写上他们的和，定义 f(i) 为第i个圆中数字i的个数。

QQ20160910122737_thumb3

给出 $n\，(n\leq10^7)$ ，求 f(n) 。

题解

$f(i)=\phi(i)$

证明： (a,b)=1 则 (a,a+b)=1,(b,a+b)=1 ，圆中的数字相邻两两互质。

对于一个数字 n=a+b 只可能由与他互质的两个数 a,b 相加而成并且每一种构造方法是唯一的。

所以 $f(i)=\phi(i)$ 。

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