[luogu P2647] 最大收益（贪心+dp）

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=2647

题目描述

现在你面前有n个物品，编号分别为1，2，3，……，n。你可以在这当中任意选择任意多个物品。其中第i个物品有两个属性Wi和Ri，当你选择了第i个物品后，你就可以获得Wi的收益；但是，你选择该物品以后选择的所有物品的收益都会减少Ri。现在请你求出，该选择哪些物品，并且该以什么样的顺序选取这些物品，才能使得自己获得的收益最大。

注意，收益的减少是会叠加的。比如，你选择了第i个物品，那么你就会获得了Wi的收益；然后你又选择了第j个物品，你又获得了Wj-Ri收益；之后你又选择了第k个物品，你又获得了Wk-Ri-Rj的收益；那么你获得的收益总和为Wi+(Wj-Ri)+(Wk-Ri-Rj)。

输入输出格式

INPUT：

第一行一个正整数n，表示物品的个数。

接下来第2行到第n+1行，每行两个正整数Wi和Ri，含义如题目所述。

OUTPUT：

输出仅一行，表示最大的收益。

输入输出样例

   输入样例#1：

2
5 2
3 5

输出样例#1：

6

//样例解释：我们可以选择1号物品，获得了5点收益；之后我们再选择2号物品，获得3-2=1点收益。最后总的收益值为5+1=6。

说明

　　20%的数据满足：n<=5，0<=Wi,Ri<=1000。

　　50%的数据满足：n<=15，0<=Wi,Ri<=1000。

　　100%的数据满足：n<=3000，0<=Wi,Ri<=200000。

SOLUTION 1：暴力枚举出每个物品选或不选，生成物品选取顺序的全排列，暴力求最优解。时间复杂度O（2^n*n！）。期望得分20分。

SOLUTION 2：不难发现我们可以对题目进行一个等价的转换，即倒序选取，选取第 i 件物品会使之前所有选取的物品收益减少R_i。

　　　　　　　   由此可以得出贪心策略：首先对所有物品按照R由大到小排序，枚举每个物品选或不选，求出最优解。

　　　　　　   　时间复杂度O（2^n）。期望得分50分。

SOLUTION 3：受SOL2启发，我们可以设计一个动态规划策略，f[i][j] 表示前 i 个物品取 j 个的最大收益，

　　　　　　　　不难发现其状态转移方程为：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+w[i]-r[i]*(j-1))   ，

　　　　　　　　边界条件f[1][1]=w[1]  f[1][0]=0  ，其中物品按照R由小到大排序，

　　　　　　　　ans=max(f[n][i]) ，

　　　　　　　　时间复杂度O（n^2），期望得分100分。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 struct thing {
 7     int a,b;
 8 } e[3050];
 9 
10 bool cmp(const thing x,const thing y) {
11     return x.b>y.b;
12 }
13 
14 int n,ans,f[3005][3005];
15 
16 int main() {
17     scanf("%d",&n);
18     for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d%d",&e[i].a,&e[i].b);
19     sort(e+1,e+n+1,cmp);
20     f[1][0]=0;
21     f[1][1]=e[1].a;
22     for (int i=2; i<=n; i++) {
23         for (int j=1; j<=i; j++)
24             f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+e[i].a-e[i].b*(j-1));
25     }
26     for (int i=1; i<=n; i++) ans=max(ans,f[n][i]);
27     printf("%d",ans);
28 }

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