KMP算法讲解

老规矩，讲算法前，先说一道小问题吧

给你一个长串和短串，求短串在长串中出现的次数和位置。

设长串长度为len1,短串长度为len2。

如果len1*len2<=10⁸，那就很简单了，直接暴力枚举以每个字符为开始的字符串是否匹配即可，复杂度为O(len1*len2);(是不是感觉太大了?)

如果将数据范围扩大到len1,len2<-10⁶呢？

现在就开始介绍我们的KMP算法。

有了前面的问题，KMP要解决的是什么就自然出来了，KMP的复杂度达到的耸人听问的O(len1+len2)。

我们可以想想我们相对于暴力算法需要改进什么？

我们可以每一次失配(也就是匹配失败)的时候，不用每一次都从上一次的出发点只往后移动一个字符，可以跳啊！

我们可以预处理出每一次跳的位置来有利于节省复杂度啊。

这里我们就讲一讲怎么跳，以及怎么进行预处理。

1.怎么跳？

我们假设字符串为abaaba

我们如果在第二个a时失配了，我们应该怎么往前呢？

我们就可以可以把第一个a放在这一个位置继续匹配。

那么，如果是第四个a呢？

我们是不是就可以把第二个a放在这个位置呢？

大家可以看到，第最后一个字符到第三个a的字符串是aba，而第一个字符到第二个a的字符串是不是也是aba，它们不是一样的吗？

讲到这里，大家应该大概的明白了KMP是怎么跳的了吧。

我们记一个nxt数组，nxt[i]表示的是从第一个字符到第i个字符的最长前后缀的长度。看不懂没关系，举个例子。

假设字符串为abaaba

nxt[0]=0

nxt[1]=0(ab无前后缀）

nxt[2]=1(aba最长前后缀为a)

nxt[3]=1(abaa-----a)

nxt[4]=0(abaab--无)

nxt[5]=3(abaaba-aba)

2.初始化

问题来了，怎么用很少的时间复杂度来进行初始化呢？

很容易想到递推，怎么递推呢？

我们假设求出了前面的nxt，现在多了一个，我们就应该找一找了。

我们可以跳前一个位置的nxt，直到跳到一个位置后面有一个字符是所需要的，是那里的后面那一个字符。

每个这样递推就好了！

而查找的过程与初始化的过程类似，这里就不再赘述了。

下面上一份模板代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 char s1[1000010],s2[1000100];
 6 int nxt[1000100];
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%s",s1);
10     scanf("%s",s2);
11     nxt[0]=0;
12     int len1=strlen(s1);
13     int len2=strlen(s2);
14     for(int i=1,k=0;i<len2;i++)
15     {
16         k=nxt[i-1];
17         while(k>0&&s2[k]!=s2[i])  k=nxt[k-1];
18         if(s2[k]==s2[i])  k++;
19         nxt[i]=k;
20     }
21     for(int i=0,j=0;i<len1;i++)
22     {
23         while(j!=0&&s1[i]!=s2[j])  j=nxt[j-1];
24         if(s1[i]==s2[j])  j++;
25         if(j==len2)
26         {
27             printf("%d\n",i-j+2);
28         }
29     }
30     for(int i=0;i<len2;i++) printf("%d ",nxt[i]);
31     return 0;
32 }

模板题：https://www.luogu.org/problemnew/show/3375

感谢大家的支持！

如果有不足之处，请尽管提出，本人不胜感激！

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