洛谷P2158 [SDOI2008]仪仗队
2018-06-17 21:18:26来源:未知 阅读 ()
题目描述
作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。
输入输出格式
输入格式:
共一个数N
输出格式:
共一个数,即C君应看到的学生人数。
输入输出样例
4
9
说明
【数据规模和约定】
对于 100% 的数据,1 ≤ N ≤ 40000
有一个比较显然的结论,如果我们把教练所在的点看做坐标原点,建立坐标系
那么一个点$(i,j)$能被看到,当且仅当$gcd(i,j)=1$。否则会被$\dfrac {i}{\gcd \left( i,j\right) },\dfrac {j}{\gcd \left( i,j\right) }$这个点挡住
对于$x,y$轴,我们特殊判断一下
这样问题就转化为求$\sum ^{n-1}_{i=1}\sum ^{n-1}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) =1\right]$
这是一个非常经典的问题
我们不妨假设$i<j$,那么上面的公式就是$2*\sum ^{n-1}_{i=1}\varphi \left( i\right)-1$(最后的-1可以理解为(1,1)这个点被重复计算了)
最后再加上$i=0,j=0$的两个点
#include<cstdio> using namespace std; const int MAXN=1e6+10; int prime[MAXN],phi[MAXN],vis[MAXN],tot=0; int main(){ int N; scanf("%d",&N);N=N-1; if(N==0) {printf("0");return 0;} phi[1]=1; for (int i=2; i <= N ;i++) { if (!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1; for (int j=1; j<=tot && i*prime[j]<=N ;j++) { vis[ i*prime[j] ]=1; if(i%prime[j]) phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1); else {phi[ i*prime[j] ] =phi[i] * prime[j];break;} } } for(int i=1; i <= N; i++) phi[i]=phi[i]+phi[i-1]; printf("%d",phi[N]*2+1); return 0; }
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