扩展中国剩余定理详解

前言

阅读本文前，推荐先学一下中国剩余定理。其实不学也无所谓，毕竟两者没啥关系

扩展CRT

我们知道，中国剩余定理是用来解同余方程组

$$\begin{cases}x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_r\left( mod\ m_r\right) \end{cases}$$

但是有一个非常令人不爽的事情就是它要求$m_1,m_2\ldots,m_r$两两互素

如果某个毒瘤出题人偏要求它们部互素呢？

其实也有解决的办法

就是把出题人吊起来干一顿用扩展中国剩余定理

扩展中国剩余定理跟中国剩余定理没半毛钱关系，一个是用扩展欧几里得，一个是用构造

首先我们还是从简单入手，考虑一下如果同余方程组只有两个式子的情况

$x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right)$

将两个式子变形

$x=c_{1}+m_{1}k_{1}\\ x=c_{2}+m_{2}k_{2}$

联立

$c_{1}+m_{1}k_{1}=c_{2}+m_{2}k_{2}$

移项

$m_{1}k_{1}=c_{2}-c_{1}+m_{2}k_{2}$

我们用$(a,b)$表示$a,b$的最大公约数

在这里需要注意，这个方程有解的条件是

$\left( m_{1},m_{2}\right) |\left( c_{2}-c_{1}\right)$，因为后面会用到$\dfrac {\left( c_{2}-c_{1}\right) }{\left( m_{2},m_{1}\right) }$这一项，如果不整除的话肯定会出现小数。

对于上面的方程，两边同除$(m_1,m_2)$

$$\dfrac {m_{1}k_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }=\dfrac {c_{2}-c_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }+\dfrac {m_{2}k_{2}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }$$

$$\dfrac {m_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }k_{1}=\dfrac {c_{2}-c_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }+\dfrac {m_{2}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }k_{2}$$

转换一下

$$\dfrac {m_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }k_{1} \equiv \dfrac {c_{2}-c_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) } (mod\ \dfrac {m_{2}}{\left( m_{1},m_{2}\right) })$$

此时我们已经成功把$k_2$消去了。

同余式两边同除$\dfrac {m_{1}}{\left( m_{1},m_{2}\right) }$

$$k_1\equiv inv({m_1\over(m_1,m_2)},{m_2\over (m_1,m_2)})*{(c_2-c_1)\over (m_1,m_2)}\pmod {{m_2\over(m_1,m_2)}}$$

$inv(a,b)$表示$a$在模$b$意义下的逆元

$$k_1=inv({m_1\over(m_1,m_2)},{m_2\over (m_1,m_2)})*{(c_2-c_1)\over (m_1,m_2)}+{{m_2\over (m_1,m_2)}}*y$$

接下来怎么办呢？这个式子已经化到最简了。。

不要忘了，我们刚开始还有两个式子。我们把$k_1$待回去！

$$x=inv({m_1\over(m_1,m_2)},{m_2\over (m_1,m_2)})*{(c_2-c_1)\over (m_1,m_2)}*m_1+y{{m_1m_2\over (m_1,m_2)}}+c_1$$

$$x\equiv inv({m_1\over(m_1,m_2)},{m_2\over (m_1,m_2)})*{(c_2-c_1)\over (m_1,m_2)}*m_1+c_1\pmod {{m_1m_2\over (m_1,m_2)}}$$

此时，整个式子中的元素我们都已经知道了

具体一点，这个式子可以看做是$$x\equiv c\pmod m$$

其中$$c=(inv({m_1\over (m_1,m_2)},{m_2\over (m_1,m_2)})*{(c_2-c_1)\over (m_1,m_2)})\%{m_2\over (m_1,m_2)}*m_1+c_1$$

$$m={m_1m_2\over (m_1,m_2)}$$

推广一下

我们每次把两个同余式合并，求解之后得到一个新的同余式。再把新的同余式和其他的联立，最终就可以求出满足条件的解

代码

题目链接

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long 
using namespace std;
const LL MAXN=1e6+10;
LL K,C[MAXN],M[MAXN],x,y;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0){x=1,y=0;return a;}
    LL r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
    return r;
}
LL inv(LL a,LL b)
{
    LL r=exgcd(a,b,x,y);
    while(x<0) x+=b;
    return x;
}
int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    while(~scanf("%lld",&K))
    {
        for(LL i=1;i<=K;i++) scanf("%lld%lld",&M[i],&C[i]);
        bool flag=1;
        for(LL i=2;i<=K;i++)
        {
            LL M1=M[i-1],M2=M[i],C2=C[i],C1=C[i-1],T=gcd(M1,M2);
            if((C2-C1)%T!=0) {flag=0;break;}
            M[i]=(M1*M2)/T;
            C[i]= ( inv( M1/T , M2/T ) * (C2-C1)/T ) % (M2/T) * M1 + C1;
            C[i]=(C[i]%M[i]+M[i])%M[i];
        }
        printf("%lld\n",flag?C[K]:-1);
    }
    return 0;
}

再放道裸题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

题解

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