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【集训试题】exam 信心考最小割

2018-06-17 21:14:31来源：未知阅读 ()

题意概述：

　　有N个人，A,B两个考场。如果学生i在A考场，总信心值增加xi；如果学生i在B考场，总信心值增加yi。其中还有m对好友，当第i对好友的两个人都在A考场时，总信心值增加ai；如果两人都在B考场，总信心值增加bi；如果两个人在不同考场，那么总信心值减少ci。

　　问总信心值最大能达到多少（总信心值的初始值为0）。

　　N<=10000,M<=50000,time limit = 1s

分析：

　　这类最小割问题非常经典，一般都是有两个集合，每个元素属于某个集合可以得到某种收益，同时还会有一些两个元素之间的关系，比如被分到同一个集合或者不同集合需要付出的代价/得到的收益等等。思路是首先我们将所有的收益全部加起来，假设我们得到了所有的收益，然后建图跑最小割求我们需要付出的最小代价，最大收益=所有可能的收益-最小代价。

　　说一下此题的建图，此题本身选择就可能产生代价，因此把代价看成收益。假设我们一开始从获得的总收益为，所有的x,y,a,b,c的和。

　　令s代表B考场，t代表A考场，s向所有考生连边容量为yi，当这条边被割掉的时候考生i被选入A考场，付出代价yi；所有考生向t连一条边容量为xi，意义同上；所有的朋友之间，s向两个点分别连边，容量为(b+c)/2，当这两条边被一起割掉的时候他们都在A考场，付出代价b+c；两个点向t连边，意义类似；两个点之间连一条容量为(a+b+2c)/2，当两个考生在不同考场的时候（在网络意义下他们不连通）这条边被割掉，这对朋友一共付出代价a+b+2c。

　　跑最小割即可，因为建图的时候涉及到除以二的问题所以先把所有的边容量乘以2，最后把这个2除回来即可。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdlib>
  5 #include<algorithm>
  6 #include<cmath>
  7 #include<queue>
  8 #include<set>
  9 #include<map>
 10 #include<vector>
 11 #include<cctype>
 12 #define inf 9e18 
 13 using namespace std;
 14 const int maxn=10005;
 15 const int maxm=50005;
 16 typedef long long LL;
 17 
 18 int N,M,A[maxn],B[maxn],S,T,tot;
 19 struct data{ int u,v,a,b,c; }C[maxm];
 20 struct net_edge{ int from,to,next; LL cap,flow; }NE[4*maxn+10*maxm];
 21 int nfirst[maxn],nnp,cur[maxn],fl[maxn],d[maxn],gap[maxn];
 22 int mq[maxn],front,rear;
 23 
 24 void _scanf(int &x)
 25 {
 26     x=0;
 27     char ch=getchar();
 28     while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
 29     while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
 30 }
 31 void data_in()
 32 {
 33     _scanf(N);_scanf(M);
 34     for(int i=1;i<=N;i++) _scanf(A[i]);
 35     for(int i=1;i<=N;i++) _scanf(B[i]);
 36     for(int i=1;i<=M;i++){
 37         _scanf(C[i].u);_scanf(C[i].v);
 38         _scanf(C[i].a);_scanf(C[i].b);_scanf(C[i].c);
 39     }
 40 }
 41 void net_add_edge(int u,int v,LL cap)
 42 {
 43     NE[++nnp]=(net_edge){u,v,nfirst[u],cap,0};
 44     nfirst[u]=nnp;
 45     NE[++nnp]=(net_edge){v,u,nfirst[v],0,0};
 46     nfirst[v]=nnp;
 47 }
 48 void _net_add_edge(int u,int v,LL cap)
 49 {
 50     NE[++nnp]=(net_edge){u,v,nfirst[u],cap,0};
 51     nfirst[u]=nnp;
 52     NE[++nnp]=(net_edge){v,u,nfirst[v],cap,0};
 53     nfirst[v]=nnp;
 54 }
 55 void build_net()
 56 {
 57     S=N+1,T=N+2,tot=T;
 58     for(int i=1;i<=N;i++){
 59         net_add_edge(S,i,(LL)2*B[i]);
 60         net_add_edge(i,T,(LL)2*A[i]);
 61     }
 62     int u,v;
 63     for(int i=1;i<=M;i++){
 64         u=C[i].u,v=C[i].v;
 65         net_add_edge(S,u,(LL)C[i].b+C[i].c);
 66         net_add_edge(u,T,(LL)C[i].a+C[i].c);
 67         net_add_edge(S,v,(LL)C[i].b+C[i].c);
 68         net_add_edge(v,T,(LL)C[i].a+C[i].c);
 69         _net_add_edge(u,v,(LL)C[i].a+C[i].b+(LL)2*C[i].c);
 70     }
 71 }
 72 void BFS(int s)
 73 {
 74     for(int i=1;i<=tot;i++) d[i]=tot;
 75     front=rear=0;
 76     mq[rear++]=s;
 77     d[s]=0;
 78     int i,j;
 79     while(front!=rear){
 80         i=mq[front++];
 81         for(int p=nfirst[i];p;p=NE[p].next){
 82             j=NE[p].to;
 83             if(d[j]==tot) d[j]=d[i]+1,mq[rear++]=j;
 84         }
 85     }
 86 }
 87 LL augment(int s,int t)
 88 {
 89     int now=t; LL flow=inf;
 90     while(now!=s){
 91         flow=min(flow,NE[fl[now]].cap-NE[fl[now]].flow);
 92         now=NE[fl[now]].from;
 93     }
 94     now=t;
 95     while(now!=s){
 96         NE[fl[now]].flow+=flow,NE[(fl[now]-1^1)+1].flow-=flow;
 97         now=NE[fl[now]].from;
 98     }
 99     return flow;
100 }
101 LL ISAP(int s,int t)
102 {
103     memcpy(cur,nfirst,sizeof(cur));
104     BFS(t);
105     for(int i=1;i<=tot;i++) gap[d[i]]++;
106     LL maxflow=0; int now=s,j;
107     while(d[s]<tot){
108         if(now==t){
109             maxflow+=augment(s,t);
110             now=s;
111         }
112         bool ok=0;
113         for(int p=cur[now];p;p=NE[p].next){
114             j=NE[p].to;
115             if(d[j]+1==d[now]&&NE[p].cap>NE[p].flow){
116                 ok=1;
117                 cur[now]=fl[j]=p;
118                 now=j;
119                 break;
120             }
121         }
122         if(!ok){
123             int minl=tot;
124             for(int p=nfirst[now];p;p=NE[p].next){
125                 j=NE[p].to;
126                 if(d[j]+1<minl&&NE[p].cap>NE[p].flow) minl=d[j]+1;
127             }
128             if(--gap[d[now]]==0) break;
129             gap[d[now]=minl]++;
130             cur[now]=nfirst[now];
131             if(now!=s) now=NE[fl[now]].from;
132         }
133     }
134     return maxflow;
135 }
136 void work()
137 {
138     build_net();
139     LL sum=0;
140     for(int i=1;i<=N;i++) sum+=A[i],sum+=B[i];
141     for(int i=1;i<=M;i++)
142         sum+=C[i].a,sum+=C[i].b,sum+=C[i].c;
143     cout<<sum-ISAP(S,T)/2<<'\n';
144 }
145 int main()
146 {
147     data_in();
148     work();
149     return 0;
150 }