经典算法9：回溯法之0--1背包问题

1.题目分析：
考虑到每种物品只有2种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。


2.算法设计：
a. 物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用
x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；
b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深
度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前
最优总价值）：
① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：
1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新
装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：
1> x[i]=j；
2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）, 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；
4> 当j>1时，for循环结束；
③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；

c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。

    #include<stdio.h>  
    int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值  
    int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况  
      
    void Backtrack(int i,int cp,int cw)  
    { //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值  
        int j;  
        if(i>n)//回溯结束  
        {  
            if(cp>bestp)  
            {  
                bestp=cp;  
                for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];  
            }  
        }  
        else   
            for(j=0;j<=1;j++)    
            {  
                x[i]=j;  
                if(cw+x[i]*w[i]<=c)    
                {  
                    cw+=w[i]*x[i];  
                    cp+=p[i]*x[i];  
                    Backtrack(i+1,cp,cw);  
                    cw-=w[i]*x[i];  
                    cp-=p[i]*x[i];  
                }  
            }  
    }  
      
    int main()  
    {  
        int i;  
        bestp=0;   
        printf("请输入背包最大容量:\n");  
        scanf("%d",&c);  
        printf("请输入物品个数:\n");  
        scanf("%d",&n);  
        printf("请依次输入物品的重量:\n");  
        for(i=1;i<=n;i++)   
            scanf("%d",&w[i]);  
        printf("请依次输入物品的价值:\n");  
        for(i=1;i<=n;i++)   
            scanf("%d",&p[i]);  
        Backtrack(1,0,0);  
        printf("最大价值为:\n");  
        printf("%d\n",bestp);  
        printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");  
        for(i=1;i<=n;i++)   
            printf("%d ",bestx[i]);  
        printf("\n");  
        return 0;  
    }  

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