C语言数据结构之二叉树排序

一、定义与性质
定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

性质
（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
二、插入与删除
插入与删除操作是二叉排序树中最常用也是最重要的两个操作。
插入过程是：
(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。
删除过程：

(1) 进行查找
查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是*p。
(2) 删去*p。
删*p时，应将*p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按*p的孩子数目分三种情况进行处理。
删除*p结点的三种情况
a.*p是叶子(即它的孩子数为0)
无须连接*p的子树，只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。

b.*p只有一个孩子*child
只需将*child和*p的双亲直接连接后，即可删去*p。
注意：*p既可能是*parent的左孩子也可能是其右孩子，而*child可能是*p的左孩子或右孩子，故共有4种状态。
c.*p有两个孩子
先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找*q的中序后继*p，并在查找过程中仍用parent记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定 是*q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去*q的操作转换为删去的*p的操作，即在释放结点*p之前将其数据复制到*q中，就相当于删 去了*q。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define maxSize 20 
#define maxWidth 20 
typedef int KeyType; //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
    KeyType key; //关键字项
    struct node *lchild,*rchild;//左右孩子指针
} BSTNode,BSTree;
//typedef BSTNode *BSTree; //BSTree是二叉排序树的类型
//先序遍历 
void preOrder(BSTree *BT) 
{ 
    if(BT!= NULL) 
    { 
        printf("%d",BT->key); 
        preOrder(BT->lchild); 
        preOrder(BT->rchild); 
 
    } 
} 
//中序遍历 
void inOrder(BSTree *BT) 
{ 
    if(BT!= NULL) 
    { 
        inOrder(BT->lchild); 
        printf("%d",BT->key); 
        inOrder(BT->rchild); 
    } 
} 
//后序遍历 
void postOrder(BSTree *BT) 
{ 
    if(BT!= NULL) 
    { 
        postOrder(BT->lchild); 
        postOrder(BT->rchild); 
        printf("%d",BT->key); 
    } 
}
 
//层次法打印树 
void dispTree(BSTree *BT) 
{ 
    BSTree *stack[maxSize],*p; 
    int level[maxSize][2],top,n,i,width=4; 
    if(BT!=NULL) 
    { 
        printf("Display a tree by hollow means.\n"); 
        top=1; 
        stack[top]=BT;//push root point to stack. 
        level[top][0]=width; 
        while(top>0) 
        { 
            p=stack[top]; 
            n=level[top][0]; 
            for(i=1;i<=n;i++) 
                printf(" "); 
            printf("%d",p->key); 
            for(i=n+1;i<maxWidth;i+=2) 
                printf("--"); 
            printf("\n"); 
            top--; 
            if(p->rchild!=NULL) 
            { 
                top++; 
                stack[top]=p->rchild; 
                level[top][0]=n+width; 
                level[top][1]=2; 
            } 
            if(p->lchild!=NULL) 
            { 
                top++; 
                stack[top]=p->lchild; 
                level[top][0]=n+width; 
                level[top][1]=1; 
            } 
        } 
    } 
} 
 
/* 向二叉排序树中加入一个结点
要改变指针,需要传递指针的指针*/
int InsertNode(BSTree **tree, KeyType key)
{
    BSTNode *p= NULL, *parent = NULL;
    BSTNode *pNewNode = (BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
    if (pNewNode==NULL)
    {
        return -1;
    }
    /* 新建结点赋值,特别是左右子结点指针要赋值为NULL */
    pNewNode->key = key;
    pNewNode->lchild = NULL;
    pNewNode->rchild = NULL;
    /* 二叉排序树是空树 */
    if (*tree==NULL)
    {
        *tree = pNewNode;
        return 0;
 
    }
    else
    {
 
        p = *tree;
        /* 寻找插入位置 */
        while (NULL != p)
        {
            /* key值已在二叉排序树中 */
            if (p->key == key)
            {
                return 0;
            }
            else
            {
                parent = p;
                p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild;
            }
        }
        if (parent->key < key)
        {
            parent->rchild = pNewNode;
        }
        else
        {
            parent->lchild = pNewNode;
        }
        return 0;
    }
}
//删除节点
 /* 通过值查找并删除一个结点 */
 int delNode(BSTree **tree, KeyType key)
 {
     BSTNode *p = NULL, *q = NULL, *parent = NULL, *child = NULL;
     p = *tree;
     /* parent为NULL表示根结点的父亲为NULL */
     while (NULL != p)
     {
         if (p->key == key)
         {
             break;
         }
         else
         { parent = p;
         p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild;
         }
     }
     /* p为NULL时， 表示没有找到结点值为key的结点 */
     if (NULL == p)
     {
         return 0;
     }
     /* p, q现在都是保存了待删结点指针 */
     q = p;
      
     /* 待删结点有两个儿子结点，进行一下转化 */
     if (NULL != p->lchild && NULL != p->rchild)
     {
    //找中序后继，先右拐，然后左走到底
         parent = p;
         p = p->rchild;
         while (NULL != p->lchild)
         {
             parent = p;
             p = p->lchild;
         }
         /* p中保存了待删结点右子树中最左下的结点指针， parent中就保存了该结点父亲指针 */
         child = p->rchild;
     }
      
     /* parent保存待删结点的父亲结点指针， child保存了待删结点的儿子结点
      
//实际删除的是待删节点的直接后继，下面是删除直接后继的过程，（待删结点至多只有一个儿子， 有两个会转化为0个或1个右结点）
      
      待删结点是根结点 */
     if (NULL == parent)
     {
         *tree = child;
     }
     else
     {
         /*待删结点是父亲结点的左儿子*/
         if (parent->lchild == p)
         {
             parent->lchild = child;
         }
         else
         {
             parent->rchild = child;
         }
    //将实际删除的节点的key值赋给原先要删除的节点
         if (p != q)
         {
             q->key = p->key;
         }
     }
     free(p);
     return 0;
 }
//二叉排序树查找
BSTNode* SearchBST(BSTree *T,KeyType key)
{ //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点,成功时返回该结点位置,否则返回NUll
    if(T==NULL) //递归的终结条件
        return NULL; //T为空,查找失败;
    if(key==T->key)
        //成功,返回找到的结点位置
    {
        printf("Got it!");
        return T;
    }
 
    if(key<T->key)
        return SearchBST(T->lchild,key);
    else
        return SearchBST(T->rchild,key);//继续在右子树中查找
} //SearchBST
int main()
{
    int n; 
    BSTree *B=NULL;
    printf("Input number to initialize a BSTree:");
    while(1)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==0) break;
        InsertNode(&B, n);
    }  
    dispTree(B);
    printf("PreOrder：");
    preOrder(B);
    printf("\n");
    printf("Search a node:");
    scanf("%d",&n);
    SearchBST(B,n);
    printf("\n");
    printf("Delete a node:");
    scanf("%d",&n);
    delNode(&B,n);
    dispTree(B);
    printf("PreOrder：");
    preOrder(B);
    printf("\n");
    return 1;
}

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